刚度-质量-阻尼综合优化的船舶减振统一阻抗模型法
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作者:杨德庆 杨康 王博涵
摘要：提出了船舶减振统一阻抗模型法，以结构阻抗值衡量减振能力，探讨同步进行刚度-阻振质量-阻尼材料综合配置的结构动力学布局优化设计。分别建立了基于结构原点阻抗、传递阻抗和阻抗级落差描述的三种动力学布局优化模型。以某军舰基座减振设计为例，验证所提出的统一阻抗模型法。算例中以基座各构件的厚度和大质量阻振方钢截面尺寸为尺寸设计变量，方钢和阻尼材料的布局为拓扑设计变量，利用模型映射变换方法，将该离散优化模型连续化。利用近似代理模型方法，求解该多频段动力学优化问题，验证刚度-阻振质量-阻尼材料同步优化设计的优越性。
关键词：船舶振动;动力学优化设计;减振;高传递损失;阻抗
中图分类号：U661.44;T8535文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）03-0485-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.006
引言
船舶减振设计主要是从修改船体结构的刚度、质量和阻尼特性等动力学参数人手的。通过修改船体及其构件的尺寸、形状及拓扑等参数，可以达到直接修改结构刚度x并间接修改质量M的效果。通过添加隔振器，可以构成减振系统，直接设计系统刚度x而不改变结构质量。在振动传递路径上附加额外质量M'，可以改变船舶结构总质量M，达到吸振及阻振效果，如附加动力吸振器或阻振大质量方钢。在船体结构上贴敷一定厚度阻尼材料，可以改变船体整体或局部结构的阻尼系数C，达到降低结构共振峰值的效果。现有的动力学优化设计研究，大多是改变上述一种或两种动力学参数，同步设计结构刚度K、质量M和阻尼C的动力学优化研究较少见。这主要是由于三参数同步优化问题难度较大，各参数间存在耦合，结构动力学分析模型与优化设计模型之间存在协调困难，阻尼材料拓扑分布变化后导致动力学分析模型的阻尼系数变化，必须同步更新动力学分析模型，涉及阻振大质量拓扑优化时设计变量定义方式等难题。三参数同步优化设计问题，是船舶减振降噪设计领域至今没有解决的理论及工程应用难题。
阻抗|Z |=|-ω2M+jωC+K|是对结构刚度x、质量M和阻尼C等三个参数的综合体现，是结构减振能力的量化表达。理论分析、数值仿真及试验研究已经验证了基于阻抗值衡量结构减振性能和设计结构动力学特性的有效性。文献[9-10]依据阻抗特性，对柔性隔振系统的振动传递特性进行了研究。文献结合理论与试验研究证明，基座阻抗值幅值越大，对动力设备传递给船体的振动能量的阻碍作用越大，隔振效果越好。因此，本文以结构阻抗Z衡量对刚度x、质量M和阻尼C的综合设计下的减振能力。在此基础上，探讨阻振大质量方钢和阻尼材料的简化建模方法，建立了可考虑结构的刚度、阻振质量以及阻尼材料配置变化情况的动力学分析统一模型。提出了统一阻抗模型优化方法，建立了刚度-阻振质量-阻尼材料同步优化的船舶减振结构动力学优化模型，包括基于结构原点阻抗、传递阻抗和阻抗级落差描述的不同形式的动力学布局优化模型。利用模型映射变换方法，将该离散优化问题连续化，解决动力学分析统一模型和优化设计模型之间协调难题，并利用近似代理模型方法求解优化问题。
通过某实船基座的减振优化设计验证所提出方法。算例中考虑基座面板、腹板和肘板的厚度为尺寸设计变量，考虑大质量阻振方钢的尺寸及其拓扑布置，考虑阻尼材料尺寸及其在基座上拓扑分布，作为尺寸及拓扑设计变量，实现刚度、质量及阻尼特性同步优化设计，获得高传递损失基座。
1 结构减振性能的阻抗描述
1.亚阻抗级
1.2 基于阻抗的减振效果描述
减振效果的主要评价指标包括传递率、插入损失和振级落差等。通过阻抗来评价，能更好反映结构减振的内部机理。
假设结构受迫振动时激励源处加速度幅值记为a0，传递到其他部位的响应幅值记为an，则振动传递率Ta为
2 考虑刚度、阻振质量和阻尼材料布局的结构动力学分析统一模型
在舰船减振设计中，优化设计动力设备基座的结构尺寸，在基座周围优化布置大质量阻振方钢，在基座面板或腹板上贴敷阻尼材料是较常见方法。其目的是通过改变基座及其周围结构的动力学特性，达到减振的效果。这类问题是典型的结构动力学优化设计，要求优化过程中同时设计结构的刚度、在未知部位配置若干个不同质量的阻振质量、在多个有效部位贴敷一定厚度的阻尼材料。因此，需要建立可以表征上述设计参数的动力学分析统一模型，实现结构动力学分析模型与优化设计模型之间的协调。能同时反映结构刚度K、质量M和阻尼C变化的动力学分析统一模型方面的研究成果目前非常少见，是首先要解决的难题，也是动力学优化设计的前提。
本文解决该难题的方法是，将反映刚度K、质量M和阻尼C变化的结构参数，选择为在动力学分析模型中可参数化表达的几何尺寸（厚度、截面积、长度、宽度等）和材料特性（弹性模量、密度、阻尼系数等）。
对于结构的刚度变化，通过动力学分析有限元模型中单元尺寸或弹性模量等参数进行参数化表达。
对于阻振质量（一般是阻振大质量方钢），在动力学分析有限元模型中若通过块体单元离散后，较难描述其拓扑位置的变化及截面尺寸变化，因此本文探索阻振质量拓扑及尺寸的新的参数化表达方法。经研究并基于算例验证，本文对阻振大质量方钢采用板单元而不是块体单元模拟，从而实现方钢尺寸和拓扑的同步参数化描述。计算结果表明其对隔振效果的计算精度是可接受的。优化完成后，在对优化设计结果的有限元验证中，仍旧将大质量方钢通过块体单元离散，以保证计算分析得到最终精确动力学分析结果。
对于阻尼材料的简化建模，本文提出两类方法。一是采用层合板材料单元的模拟方法，二是忽略阻尼材料的刚度，通过改变所贴敷基体板材的材料密度及材料阻尼系数，来模拟阻尼材料质量及阻尼效应的方法。阻尼材料布局优化设计时涉及阻尼材料拓扑分布位置，以及在该位置处阻尼材料厚度尺寸变化，施加后会导致局部结构阻尼特性的变化，且有可能与频率相关，在动力学分析模型中较难同时参数化描述这两个特征，上述新的参数化表达方法可以解决这个难题。应用上述方法模拟阻尼材料后，采用材料密度作为拓扑设计变量来模拟阻尼材料拓扑分布，并与所贴敷基体板材的材料阻尼系数關联，后续优化设计中可以很方便地实现阻尼材料拓扑分布变化描述。若阻尼材料贴敷在板单元上，则阻尼材料密度为原始阻尼材料密度，基体板材的材料阻尼系数为自由阻尼层合板的等效阻尼系数;若阻尼材料不贴敷在板单元上，则阻尼材料密度为0，基体板材的材料阻尼系数为自身的材料阻尼系数。 一般情况下，阻尼材料厚度与贴敷的钢板厚度成1-2的比例关系时，阻尼效果最佳。关于阻尼材料厚度设计，本研究中基于上述比例关系进行变量连接处理，若贴敷的钢板厚度为设计变量，则阻尼材料厚度取1.5倍该钢板厚度设计变量值;若所贴敷的钢板厚度不是设计变量，则当该钢板贴敷阻尼材料时，阻尼材料厚度取1.5倍钢板原始厚度。
应用上述大质量阻振方钢建模方法、阻尼材料建模方法以及结构尺寸描述刚度变化的建模方法等所建立的包含阻振质量配置和阻尼材料拓扑分布的船体结构动力学有限元分析模型定义为结构动力学分析统一模型。
3 船舶结构刚度-阻振质量-阻尼材料综合优化设计的统一阻抗模型法
阻抗值Z可以综合衡量并量化对刚度K、质量M和阻尼C设计下的结构减振能力，因此将其作为优化设计中目标函数或约束条件，可以获得直观的减振设计效果。本文结合上面建立的考虑刚度、阻振质量和阻尼材料变化的结构动力学分析统一模型，基于结构原点阻抗、传递阻抗和阻抗级落差描述，提出如下刚度-阻振质量-阻尼材料综合配置的统一阻抗优化模型法的三种形式。
3.1 基于原点阻抗描述的刚度-阻振质量-阻尼材料综合配置的统一阻抗优化模型
以结构重量最小化为目标，基于结构原点阻抗约束的刚度-阻振质量-阻尼材料综合配置优化设计的统一阻抗优化模型数学列式如下
3.2 基于传递阻抗描述的刚度-阻振质量-阻尼材料综合配置的统一阻抗优化模型
以结构重量最小化为目标，考虑传递阻抗约束条件的刚度-阻振质量-阻尼材料综合配置优化的统一阻抗优化模型数学列式如下
式中 ILatr表示结构的传递阻抗级，其他变量含义同式（10）。
其中传递阻抗级的评价点为图1所示基座下方的12个点（左右对称）所在位置。进行优化的传递阻抗级为该12个评价点的平均阻抗级。
3.3 基于阻抗级落差描述的刚度-阻振质量-阻尼材料综合配置的统一阻抗优化模型
结构重量最小化为目标，考虑阻抗级落差及传递阻抗约束的刚度-阻振质量-阻尼材料综合配置优化的统一阻抗优化模型数学列式如下
式中JDL，IDL0分别是结构阻抗级落差和阻抗级落差设计值，其他变量含义同式（11）。
3.4 刚度-阻振质量-阻尼材料综合优化模型与结构动力学统一分析模型间的映射变换
优化列式（10）-（12）中的刚度设计变量对应于结构的尺寸参数，如板厚或梁截面尺寸，属于连续设计变量。阻振质量设计变量对应模拟大质量方钢的板单元厚度，包含拓扑及尺寸优化两层含义，板厚度为零代表不设置方钢，厚度不为零则设置一定截面尺寸的方钢。阻尼材料拓扑配置和尺寸设计变量对应两个参数，一个是阻尼材料的厚度设计变量，它与基体板材厚度关联，是连续设计变量;另一个是阻尼材料密度拓扑变量p，它只能取0或阻尼材料固有密度p0两个离散值，表征阻尼材料有无，是离散设计变量。因此，数学规划列式（10）一（12）是连续与离散设计变量混合优化问题，采用基于导数的常规优化算法无法求解该问题。
为解决这个难题，采用文献方法，对优化列式（10）-（12）进行连续化映射变换，将其转换为连续变量优化设计问题。具体方法是：首先归一化材料拓扑分布密度变量P，并使P在区间[0，1]上连续取值。其次，用映射函数f（P）替代变量P，得到变换后的连续优化模型。再次，采用常规基于导数的优化方法或智能优化算法（遗传算法、蚁群算法或神经网络算法等）求解上述连续化映射变换后的优化问题（10）-（12），得到最优解。最后，将最优解再经过逆映射变换。f-1（p），将之前连续化的设计变量还原为离散拓扑值，形成原0或1形式的优化设计值，返回结构动力学分析统一模型进行验算。
给出两种较好的可选映射函数如下。
门槛值为0.5的Sigmoid映射函数f1（h），函数曲线如图2所示，表达式为
取u=0.005，在区间[0，0.5]，映射函数f1（h）逼近于0;在区间[0.5，1]，映射函数f1（h）逼近于1.
该函数每段仍为幂函数，函数曲线如图3所示。在区间[0，0.5]，映射函数f2（h）逼近于0;在区间[0.5，1]，映射函数f2（h）逼近于1.
经过上述映射变换，优化过程中不同设计结果都可方便地导人结构动力学分析统一模型，实现结构动力学分析模型与优化设计模型之间的光滑衔接。
4 代理优化模型及求解
映射变换后的优化问题（10）-（12）可采用代理模型方法进行变换求解，其优点是可以避开对于船舶这类超大型结构动力学优化设计中涉及耗时的动力学分析，避免迭代中过早陷入局部最优解问题。
具体方法是：首先选取样本点，通过结构动力学统一分析模型建立快速动力学响应分析代理模型;之后，基于该代理动力学响应分析模型，进一步求解映射变换后的优化模型（10）-（12）。本文采用最优拉丁超立方设计方法选取样本点，相比于随机拉丁超立方设计，该方法样本点分布更加均匀，使得因子和响应的拟合更加真实精确。通过最优拉丁超取样方法在设计区域内随机选取样本点，为进一步检验代理模型的精度，通过最优拉丁超立方设计方法随机选取若干样本点作为检验代理模型精度的误差分析测试集。
本文采用三种近似建模方法建立代理模型来获取精确有效的近似動力学分析模型，它们分别是响应面（RSM）模型、克里金（Kriging）模型和神经网络（RBF）模型。针对模型（10）-（12），结构动力学响应分析代理模型主要是阻抗值计算的代理分析模型。Isight优化平台中包含上述代理模型技术。 5 刚度-阻振质量-阻尼材料综合优化设计算例
以某船用基座指定频段内动力学布局优化设计为例进行研究，优化设计变量包括基座面板、腹板和肘板的厚度、多个阻振大质量方钢截面尺寸及拓扑布置、阻尼材料拓扑分布及其厚度等，目标是实现刚度、质量及阻尼材料布局同步优化设计，获得具有高传递损失的减振基座。
5.1 基座动力学分析模型及统一阻抗优化模型
船舶某舱段中基座结构的有限元模型如图4所示。基座几何尺寸：基座面板长度2000mm，宽度150mm，厚度12mm;基座腹板长度2000mm，高度250mm，厚度8mm;基座肘板上边长150mm，肘板下边长300mm，厚度8mm;方钢初始截面设计尺寸为100mm×20mm，阻振方钢有三种布置方式，分别布置在腹板中部横向、腹板底部以及基座周围进行布置，如图5所示。阻尼材料采用橡胶，弹性模量为4.768MPa，泊松比为0.49，密度为1100kg/m3，损耗因子为0.5，复合后阻尼系数为0.2，如图6所示。基座与方钢采用相同的钢材，材料密度为7850kg/m3，弹性模量为206GPa，泊松比为0.3.该舱段模型四周采用固支约束。
算例中，取基准阻抗Zref=0.1N/（m/s-2）。通过1/3倍频程频响分析得到原始设计下基座原点阻抗级、传递阻抗以及阻抗级落差。对应优化模型（10）-（12），选取基座优化后原点阻抗级和传递阻抗级比原始设计提高6dB，阻抗级落差为6dB。对应的优化模型具体列式如下式所示。
40-2000Hz频段内原点阻抗级达到指定指标为约束条件，基座动力学优化模型的数学列式如下
式中 t1，t2，t3分别表示基座面板、腹板和肘板的厚度設计变量;d1，d2，d3分别表示布置于基座周围、腹板底部和腹板中部横向的方钢厚度尺寸设计变量;Z1，Z2，z3分别表示基座的面板、腹板和肘板处阻尼材料拓扑分布设计变量;mass为结构总重量;ILaor为40-2000Hz基座的原点阻抗级;ILa0为基座原点阻抗级的优化目标值;σk表示基座有限元模型中单元应力，ε取10-3。
40-2000Hz频段内传递阻抗级及阻抗级落差达到指定指标为约束条件下基座动力学优化模型的数学列式
5.2 优化结果及讨论
基于Isight软件平台，采用代理模型方法求解优化问题。采用最优拉丁超立方法选取样本点，在设计区域内随机选取175个样本点，为进一步检验代理模型的精度，通过最优拉丁超立方设计方法随机选取80个样本点作为检验代理模型精度的误差分析测试集。采用3种近似建模方法建立代理模型来获取有效的近似模型，分别是响应面（RSM）模型、Kriging模型和神经网络（RBF）模型。
通过1/3倍频程频响分析得到基座原始设计的原点阻抗级为97.21dB，本算例假定阻抗级优化目标为102dB，在Isight优化平台中选用NLPOL（序列二次规划）优化算法分析求解模型（15），得到3种近似代理模型优化结果，如表1所示。
从优化计算结果可以看出，3种代理模型都能达到较好的近似拟合效果，其中Kriging模型和神经网络RBF模型能更好地反映基座实际情况，拟合效果也更好。同时，Kriging代理模型和RBF代理模型的最优解也十分接近。
通过1/3倍频程频响分析得到基座原始设计的传递阻抗级为110.74dB，本算例假定传递阻抗级优化目标为116dB，阻抗级落差为6dB。在Isight优化平台中选用NLPQL优化算法分析求解模型（17），得到三种近似代理模型优化结果如表2所示。
从优化结果可以看出，Kriging模型拟合的结果最好。Kriging方法是一种估计方差最小的无偏估计模型。相关函数的连续性和可导性比较好，在解决非线性程度较高的问题时往往可以取得比较理想的拟合效果。而响应面方法利用多项式函数拟合设计空间，不能保证响应面通过所有的样本点，存在一定误差，对于高度复杂的函数关系的逼近效果较差。神经网络RBF模型以待测点与样本点之间的欧几里得距离为自变量，在样本点足够多的情况下神经网络RBF模型拟合的结果也好。但随着样本点增多，计算量也随之增大。在现有的样本点数的前提下，Kriging模型拟合的结果更好。两个优化设计模型下优化结果如表3所示。
对比可知，基于传递阻抗约束的刚度、阻振质量和阻尼材料配置综合优化设计是减振最有效的，同时基座最终总质量也是最小的。从振动角度看，基于阻抗级落差描述的统一阻抗优化模型既保证阻抗的幅值增加，也强调阻抗失配，拉大振级差距，因此更为合理。而仅考虑原点阻抗级的配置优化是不全面的。
本文计算效率主要取决于对代理模型所需采样点的动力学计算，耗时较多，无法避免，具体代理优化模型的优化效率很高，普通配置的16G内存计算机基本上半小时内就能完成。
6 结论
本文研究了刚度、阻振质量与阻尼材料同步优化设计方法，建立了有效的动力学分析统一模型以及结构刚度-阻振质量-阻尼材料综合配置动力学优化模型。研究表明：
（1）利用阻抗级可以量化而准确地描述结构减振能力，这给建立综合动力学优化设计带来方便。
（2）本文建立的考虑结构的刚度、阻振质量以及阻尼材料配置变化情况的动力学分析统一模型合理有效，计算量小。利用模型映射变换方法，较好解决了动力学分析模型和优化设计模型之间的协调难题。
（3）基于阻抗级落差描述的刚度-阻振质量-阻尼材料综合配置的统一阻抗优化模型模型可获得最佳的高传递损失结构动力学设计，解决当前动力学优化设计研究中的棘手难题。本文方法有重要工程应用价值。
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