例谈化归思想在中学数学解题中的应用
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摘 要 化归思想是中学数学解题中常用的一种重要思想，在解题时的应用十分广泛。本文通过例举化归思想在中学数学解题中的应用，如：解方程，求数列通项，处理含参不等式，解三角函数，解应用题等。通过对这些题目的逐一分析，继而总结出化归思想解题的一般规律与原则，即通过将未知的问题转化归结为已知的知识、将复杂问题转化归结为简单问题。
关键词 化归思想;中学数学;解题;应用
中图分类号：B027 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）02-0075-01
化归思想的最终目的是为了简化求解过程，实现复杂问题简单化、抽象问题具体化。化归思想以其高度的实用性和有效性，赢得了师生的一致认可，是实现对学生综合素养教学的重要手段。
一、化归思想的基本概念
化归思想是处理数学问题的一般思想方法，其核心是：在解决数学问题时，常常是将要解决的问题A通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得原问题A的解答。化归的基本功能是：生疏化成熟悉、复杂化成简单、抽象化成直观、含糊化成明朗。
二、化归思想在中学数学解题中的应用
（一）解方程
例1.解方程（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=0
解：原方程可化为：
（x2+8x+7）2+8（x2+8x+7）+15=0
令y=x2+8x+7这样，我们将解方程
（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=0
转化为规范化方程y2+8y+15=0的形式。
对于方程y2+8y+15=0可化为（y+3）（y+5）=0，
可得方程的解为： y=-3或y=-5。
所以我们有x2+8x+7=-3或x2+8x+7=-5，继而接着解两个方程可得原方程的解：
从上题我们可以看出：在解方程时对方程变量进行替换把高次方程转化为低次方程，再对低次方程进行变形化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），使之纳入原有的已经解决的知识结构，这就是化归。
（二）求数列通项
例2：设正数数列{an}的前n项和为Sn，又 ，求an。
分析：因为当n≥2时，an=Sn-S（n-1），所以2Sn=
，所以2Sn2-2SnSn-1=（Sn-Sn-1）2+1，所以Sn2-Sn-12=1，所以数列{Sn}的平方数列{Sn2}是公差为1的等差数列，易求S1=1，所以Sn2=n，因为an>0，所以 ，所以 。
从上述两题我们看到不少既非等差又非等比的数列，却可以通过适當的变形，化归为一个等差数列、等比数列或一个通项易求的数列，从而求出原数列的通项公式。
（三）处理含参不等式
函数与不等式关系密切，尤其是含参数的不等式问题，变量较多。遇到这类问题时，我们应如何处理呢？
例3：如果2x-1>m（x2-1）对任意m∈[-2，2]都成立，求x的范围。
分析：解题时易想到，由原不等式解出x，再根据m的范围确定x的范围。可以想象，此法解题过程非常烦琐，很难解出结果。应如何考虑呢？注意到m的范围已确定，转换一下角度，把所给不等式看成m的不等式如何？
解：原不等式变形为：
m（x2-1）-（2x-1）<0
左边显然是m的一次函数，记作f（m），
由题知，f（m）<0对任m∈[-2，2]恒成立，由一次函数性质只需
即可，这样便可解这个关于x的不等式组，从而得解：
从上例可以看出，处理这类问题时我们不妨换个角度，可通过化归思想，把它转化为函数问题，反客为主。把我们熟悉的未知数看作参变量，而把原来的参数看作主元未知数，分离变量，利用转化思想把它化归为函数问题，利用函数性质即可轻松获解。这样处理，不但方法巧妙，而且过程简单，有利于培养思维能力，提高解题能力。
例4：某商店进货每件50元，据市场调查，销售价格（每件x元）在50≤x≤80时，每天售出的件数P= 。若想每天获得的利润最多，销售价格每件应为多少元？
这是一个u关于 的二次函数，当 。
即x=60（x∈[50，80]）时，u取最大值，故每件定价为60元时，利润最大为2500元。
在这一题中我们先把实际问题转化为数学问题，使之能用数学理论解决具体的实际问题，再在数学问题的解决中继续应用化归转化的思想，尽管上述方法转化方向各不相同，但其实质都是一样的：尽量转化为熟悉的知识或方便求解的问题上。
从以上几道例题我们可以总结出化归思想解题的一般规律，即：生疏化成熟悉、复杂化成简单、抽象化成直观、含糊化成明朗。
化归思想作为一种重要的数学思想方法，在数学问题的学习中有着十分重要的作用。通过分析化归思想在中学数学中的具体应用，我们总结出了化归思想解题的一般规律，即对题目自身的特点，遵循熟悉化、简单化、特殊化等原则，化繁为简，化难为易，从而达到解题的目的。
参考文献：
[1]凌健.化归思想在数学解题中的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2008（2）：115-117.
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