谈对有理数概念的理解

来源:用户上传      作者: 李裕华

　　从小学数学到初中数学，对初一学生来说是一个飞跃。不论从量的方面，还是从质的方面，都有一个逐步适应的过程。
　　初一的同学要想学好数学，应该特别注意对有理数概念的理解。
　　引入负数之后，我们对整数和分数的认识有了发展，整数包括正整数、零、负整数，分数包括正分数、负分数，整数和分数统称为有理数。我们还可以按正负性来分：
　　有理数
　　把有理数分为“正、负、零”三类，有着十分重要的意义，因为绝对值的确定是按“正、负、零”三种情况规定，而有理数大小的比较，也是按“正、负、零”进行的。
　　初中数学的显著特点是用字母表示数，这是小学数学向初中数学过渡的重要标志，要学好初中数学，就必须理解有理数的概念，善于对字母进行分类讨论。下面举例说明。
　　例1：若一个有理数的：（1）倒数；（2）绝对值；（3）相反数；（4）平方；（5）立方，等于它本身，那么这个数是多少？
　　答：（1）±1；（2）任何正数或0；（3）0；（4）0或1；（5）0，1或－1。
　　在回答以上问题时，同学们容易犯的错误是，给出的答案不完整，如倒数等于它本身的有理数是1；绝对值等于它本身的数是正数等，其原因主要是对数域的拓宽不适应，仍习惯于局限在小学所学过的正数和0的范围内考虑问题，而忽略了已经引进的负数。当然也还存在对新学的绝对值、相反数等概念没有准确理解而造成的错误。
　　例2：一个数的相反数和它的绝对值是否可以相等？若两个有理数互为相反数，这两个数能否互为倒数？
　　答：一切非正数的相反数和它的绝对值相等；若两个有理数互为相反数，这两个数不可能互为倒数。（因为0以外的两个相反数是异号的，而互为倒数的两数之积为1，故必然同号；0没有倒数。）
　　
　　在回答以上问题时，前一问题的常见错误一是有些同学误以为一个数a的相反数－a总是负数；二是误认为|a|＝a，因而得出“总有|a|≠－a”的错误结论，其原因主要是对相反数与绝对值的概念还没有完全理解。其实，负数的相反数就是正数，0的相反数还是0。如－3的相反数就是－（－3），即3。而|3|＝3，所以－3的相反数和它的绝对值是相等的。一般地，当a≤0时，a的相反数－a≥0，而按绝对值的意义，|a|＝－a，所以，当a≤0时，它的相反数和绝对值是相等的。
　　后半题的回答正确与否，既取决于对相反数、倒数的意义是否明确，还要有一定的分析问题的能力，如a与－a互为
　　相反数，a与 （a≠0）互为倒数，显然对任何a≠0的数，因
　　为－（a2）≠1，故－a≠ 。
　　例3：判断下面各结论的正误，并说明理由（式中字母表示有理数）。
　　判断：（1）a一定大于－a；（2）a不是正数时，|a|一定大于a。
　　答：（1）a是有理数，分三种情况讨论：
　　当a是正数时，－a是负数，此时有a＞－a；
　　当a是负数时，－a是正数，此时有a＜－a；
　　当a是0时，－a也是0，此时a＝－a。
　　由于后两种情况下结论不对，所以原结论不对。
　　（2）a不是正数，可以是负数，也可以是0（此种情况千万不能忽视）。
　　当a＜0时，|a|是正数，此时|a|＞a；
　　当a＝0时，|a|＝0，此时|a|＝a。
　　由于a＝0时结论不对，所以原结论不对。
　　从上面三个例题的思考解答中可以看出，掌握有理数的概念是学好有理数的基础，我们必须对概念进行逐字逐句的推敲，力求弄清这些概念的意义，并借助于数轴加强有关的练习，才能真正掌握这些概念。只有切实掌握了这些概念，才能进一步学习好有理数的运算法则，为准确而熟练地进行运算奠定基础。
　　〔责任编辑：高照〕

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