让学生在知识的重构中生长
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作者: 姚荣
在数学知识的获取过程中，教师要让学生感受到知识是如何生长的，感受到运用数学智慧不断创新知识结论的乐趣，感受到如何科学有效地发现问题、思考问题、解决问题……唯有这样的数学教育，才是富有活力的教育。在执教“用字母表示数”一课中，姚老师就较好地体现了这一数学教育理念。他没有单纯地向学生灌输“用字母表示数简洁、概括”等知识结论，而是不断让学生重构已有认知，不断获得新的发现。
【片段一】魔盒猜数，引出变化规律
师：神秘的魔术都离不开神奇的道具，一旦发现了道具的秘密，魔术也就不神秘了。今天老师给大家带来了一个神奇的魔盒，我们就利用这个魔盒变一个魔术，看谁能最先发现魔盒的秘密。
师：我们从左侧往魔盒里输入一个数，经过魔盒加工，从它右侧就能输出另一个数。（板书：输入，输出）为了便于观察和思考，咱们一边变魔术一边记录。（师输入5，魔盒就输出15；师输入16，魔盒就输出26）
师：大家看，输入22……
生：输出32。
师：请一个同学说一个输入的数。
生：输入18。
生（齐）：输出28。
师：怎么猜到这次就会输出28？
生：用18＋10。
生：每次都是用输入的数加上10，就是输出的数。
师：真会思考，你能从不断变化的数字中找到不变的“加10”的规律。
【评析】“魔盒猜数”作为探究用字母表示数的教学素材，首先受到学生的喜爱，学生对于魔术的爱好和探究问题的兴趣，使得教学有内驱力；其次，魔盒猜数规律的发现比较简单，也便于学生用含有字母的式子来表达，符合学生认知的“最近发展区”，为学生的学习成功提供了可能；第三，教师通过动态的猜数过程，有效地归纳出变化中的“不变”――输入数加10等于输出数，激活了学生的已有经验。
【片段二】逐层揭秘，简洁表达规律
师：你们利用输出的数总比输入的数大10的关系，找到了魔盒的秘密！只要知道输入的数，我们就一定能知道和它相对应的输出的数，对吗？
生（齐）：对！
师：魔术这样变下去变得完吗？
生：变不完。
师：这样的算式写得完吗？
生：也写不完。
师：魔盒的主人用了一种既简洁又清晰的方法，表示这个魔盒的秘密。这个方法就放在魔盒里，你能猜出来吗？
师：如果你有了想法，请写在纸上。
在组织反馈后，姚老师选取了几种有代表性的表示方法。
师：咱们一起讨论一下哪种方法更合理。
1.师展示学生甲的表示方法“1000――1010”：他写了两个具体的数字，你们对这样的表示有什么看法？
生：他一直写到很大的数，但还是只能表示输入数是1000这一种情况。
师：数学是简洁的。这样的表示不能达到用一道算式就能表示出各种不同的情况的要求。
2.师展示学生乙的表示方法“所有的数――所有的数＋10”：用文字表达的方法能表示出各种不同的情况吗？魔盒里放的可能是这种方法吗？
生：有可能，它能表示出不同的方法。
生：也可能不是，因为这是我们以前学习的知识，还应该有更简洁的方法。
师追问：可能用到什么知识呢？
生思考，较少的学生举手。
3.师展示学生丙和丁的表示方法“a――b”与“a――a+10”：你们的直觉是对的，这两种表示方法与前两种方法有明显的不同，你们看出来了吗？
生：用字母表示。
师：先看输入的数，用一个字母a表示，你知道丙是怎么想的吗？
生：这个字母可以表示不同的数。
生：这个字母可以表示任意一个数。
师：字母的力量可真大！
师：再看输出的数，用b表示，谁知道丙同学是怎么想的？
生：b是任意一个数。
师接生的话问：假如a表示3，你想让b表示几？但b可以表示任意的数，它就一定表示13吗？
生：不一定。
师：谁有不同的意见？
生：用a表示输入的数时，用b表示输出的数不能看出它们之间相差10的关系。
师再次展示学生丁的表示方法“a――a+10”：丁同学，你愿意解释一下吗？
学生丁：a是表示输入的数，a＋10可以表示输出的数比它多10。
师：能确定吗？
学生丁：确定。
师：对比这几种方法，你们更喜欢哪一种呢？魔盒里选择的是哪一种呢？
生一起回答选择了“a――a+10”，课件出示魔盒里弹出一个算式――“a+10”。
【评析】魔盒的秘密可以用什么方法表示呢？这个问题既激活了学生的思维，又提供了不同的可能。学生不必拘泥于猜测教师的意图，而是自由地根据已有经验，给出自己的答案。教师的价值就在于展示学生的思维，并且不断地引导学生评议、反思、比较、优化，直至选择。“你知道丙同学是怎么想的？”“谁有不同的意见？”民主、尊重的教学氛围让学生畅所欲言，自由“拔节”。“字母的力量真大！”“数学是简洁的。”这些充满数学智慧的语言，流淌在学生的心头，让学生充分生长！
【片段三】变式创新，把握代数本质
师：其实每个人都可以做魔盒的主人，你也可以编一道用字母表示的式子，通过猜数的游戏，让大家思考是什么算式。
学生都各自在一张纸条上自由地编写式子。教师选择几位学生，让他们开展猜数游戏，然后猜出魔盒里的算式。学生展示的分别是这样几种情况：a×3，x－1，b÷2。
师：刚才我们一起用字母探讨了魔盒的秘密，虽然用的字母不同，写出的式子不同，但有一样东西却不变，你知道是什么吗？
生：输入的数与输出的数之间的关系不变。
师：正如德国科学家开普勒所说：“数学是研究千变万化中不变的关系。”
【评析】教育是什么？教育是学生忘记了所学的知识后，留下的那点东西。相信学生在做魔盒的主人中，出题考验别的同学，一定享受着一种创造的快乐。学生可能忘记了这节课，但却在学生心中植下了喜欢数学的种子。更为重要的是，数学是在变中找不变，学生在不经意间就学会了一种辩证的眼光和思维。
（作者单位：北京市第二实验小学，江苏省宝应县实验小学）
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