浅谈最优同伦渐近法(OHAM)在求解偏微分方程中的应用

来源:用户上传      作者:胥康 任金莲

　　摘   要：本文介绍一种使用简单计算并拥有足够好的近似解的求解偏微分方程的方法，最優同伦渐进法（OHAM），也称为半解析法。先后将该方法应用于传热方程和KDV-Burgers方程的求解中。OHAM方法对这两类方程都提供了灵活可靠的解决方案，体现出其在求解偏微分方程中的优越性。
　　关键词：OHAM方法  传热方程  KDV-Burgers方程
　　中图分类号：O175                                   文献标识码：A                       文章编号：1674-098X（2019）05（b）-0186-02
　　1  最优同伦渐近法（OHAM）的提出
　　近年来，Marinca和Herisanu[1]在同伦分析法（HAM）的基础上提出了一种求解偏微分方程的更加灵活的方法：最优同伦渐进法（OHAM）[2]。在一系列的文章中，作者[3]成功地证明了该方法的可靠性、有效性和优越性，且运用该方法得到了许多工程和科学中重要应用的解决方案，可见该方法在科学和工程应用中的潜力。
　　2  最优同伦渐近法（OHAM）基本算法
　　考虑微分方程，其中Ω为求解区间，分别为未知方程和已知方程，L，N分别为线性算子和非线性算子。首先构造方程
　　是未知函数，（H（0）=0）为辅助函数[4]。函数关于p泰勒展开，得。若方程（3）收敛，则，将（4）式带入（2）中，得到剩余误差。用最小二乘法得到的Cj值，并将Cj代入（5）（6）中，得到方程近似解[4]。
　　3  最优同构方法求解传热方程
　　考虑传热方程[5]，边界条件，初值为，精确解为[5]。运用上述所提OHAM方法，方程（7）得到如下情况：①0阶情况：，初值为，其对应的解为;②1阶情况：，初值，其对应的解为;③2阶情况为，初值，解为
　　。由解得，再根据最小二乘法得到当时，，代入（11）得到方程（7）的近似解。
　　4  最优同构方法求解KDV-Burgers方程
　　考虑KDV-Burgers方程[6-7]，初值，精确解为。运用OHAM方法，可以得到0阶、1阶和2阶解：，，，则C1，C2可由最小二乘法确定：，从而得到近似解。
　　5  结语
　　本文介绍了一种可靠的求解偏微分方程的方法：最优同伦渐进法（OHAM），先后将其应用于传热方程和KDV-Burgers方程的求解中，文中给出了具体的求解过程，从中可以看出OHAM方法使用简单计算便可拥有足够好的近似解，体现出其在科学和工程应用中的潜力。
　　参考文献
　　[1] N.Khan， M.S.Hashmi， S.Iqbal， T.Mahmood. Optimal homotopy asymptotic method for solving Volterra integral equation of first kind[J]. Alexandria Engineering Journal， 2014（53）： 751-755.
　　[2] V. Marinca， N. Herisanu. Application of homotopy asymptotic method for solving non-linear equations arising in heat transfer[J]. I. Comm. Heat Mass Trans.， 2008（35）： 710-715.
　　[3] N. Khan， T. Mahmood， M.S. Hashmi. OHAM solution for thin film flow of a third order fluid through porous medium over an inclined plane[J]. Heat Transfer Res， 2013（44）： 1-13.
　　[4] 哈米德，孙华飞，宋扬.最优同伦渐近法在带滑移的6常数Oldroyd流体模型中的应用[J].北京理工大学学报：自然科学，2019（3）：327-330.
　　[5] Fazle Mabood. The Application of Optimal Homotopy Asymptotic Method for One-Dimensional Heat and Advection-Diffusion Equations[J].Inf.Sci.Lett，2013（2）： 57-61.
　　[6] H. Jafari and S. Gharbavy. The Solution of KDV-Burgers Equation by the Optimal Homotopy Asymptotic Method[J]. Studies in Nonlinear Sciences， 2012（3）：1-7.
　　[7] Haq， S.， S. Islam and M. Uddin. A mesh-free method for the numerical solution of the KDV-Burgers equation[J]. Applied Mathematical Modelling， 2009（33）：3442-3449.
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