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积分第一中值定理的推广研究

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  摘 要:伴随时代的不断发展,数学同样在快速进步。积分中值定理对于微积分的学习有着非常重要的作用。本文就积分第一中值定理的推广进行深入地研究。
  关键词:积分第一中值定理;推广;应用
  DOI:10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.197
  1 积分第一中值定理
  定理1 如果在上连续,那么至少有一点,使得:
  证 因为在上连续,所以其有最小值与最大值。由:
  运用积分不等式性质可得:
  根据连续函数的介值性可知,至少有一点,使得:
  定理2 如果在上连续,那么至少有一点,使得:
  证 因为在上连续,繼而在上可积。将其原函数定位,那么按照存在定理便能够获悉,在上连续,同时在上可导,依据拉格朗日中值定理可知存在一点使得:
  可得:
  2 积分第一中值定理的推广
  2.1 积分第一中值定理的改进
  定理3 如果在上连续,那么至少有一点,使得:
  成立。
  证明:令,由于在上连续,因此在上连续,在内可导,同时可得,对在内由拉格朗日微分中值定理得:至少有一点,使得:
  即
  例1 若上连续,非负,严格单调减函数,证明:
  证明:根据定3可得:
  (2-1)
  (2-2)
  根据公式(2-1)、(2-2)两边乘以得:
  由于,因此,又因在内连续,非负函数,
  因此 。
  2.2 推广的积分第一中值定理的改进
  定理4 如果、在内连续,同时在内不变号,那么至少有一点,使得:
  证明:假设满足,则:
  (1) 在时,以上等式成立。
  (2)在不恒等于0时,那么至少有一点,使得,由连续性知。
  又因在内连续,进而必然存在着最小值与最大值,即:
  进而 (2-3)
  1)假设公式(2-3)中左边等号成立,也就是:
  (2-4)
  或者
  在内连续,同时,那么在内便有。
  由于不恒等于0,因此必然有一点,使得,即,那么在上至少有一点使。
  依据公式(2-4)得。
  2)假设(2-3)右边等号成立,同理也可证得结论成立。
  3)假设(2-3)严格不等式成立, 即:
  因为,则有:
  由连续函数的介质性定理知在上至少存在一点使得:
  或
  因此能够证明定理2成立。
  3 结论
  综上所述,本文针对积分第一中值定理的定义、改进以及推广等进行了详细的研究,使得人们对积分第一中值定理有了大概的了解。
  参考文献:
  [1]郑权.积分第一中值定理中间点的一般渐近性质与求积公式[J].大学数学,2004(12).
  [2]杨雅迪.关于积分第一中值定理推广的探讨[J].科技信息,2010
  (10).
  作者简介:黄瑞芳(1980-),女,河南新郑人,硕士研究生,讲师,研究方向:数学。
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