浅谈平方差公式和应用比例的推广
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【中图分类号】G632 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2019）11-0116-01
数学来源于生活，同时也应用于生活。下面我对中学数学中的平方差公式和应用比例的应用推广的一点看法。
近年来的中、高考都考学生的实践应用能力，考试的内容偏多。对于数学，提高学生的计算能力就赢得时间=赢得高或中考。
二十世纪八十年代初，正值我们孩提之时，从当时的《十万个为什么》中获得尾数是5的两位数的平方的快捷算法。当时欣喜若狂，直到现在记忆犹新，此算法一直使用至今，终生受益。一些年后，当时常讲授到平方差公式时，偶然发现原来我们当年学的尾数是5的两位数的平方的快捷算法，却来自平方差公式，或是说平方差公式可以证明快捷算法的可靠性、正确性。
由a2-b2=（a+b）（a-b）→a2=（a+b）（a-b）+b2
于是有例852=（85+5）（85-5）+52=90×80+52=7225
这里我们把90×80暂称为前积A，52称为后积B，容易看到：前积A=90×80，正好是85首位80与10的和乘以首位80.为了书写方便，省去零，写成如下形式，即
〖XC33.JPG;%29%29〗
归纳：
尾数是5的两位数的平方等于首位数乘以首位数与1的和作为前积，续写25为后积。
推广1：任意两位数的平方可化为一位数乘以两位数，再续写后积。
例：
782=（78+2）（78-2）+52=80×76+4=6084
712=（71+1）（71-1）+12=70×72+1=5041
492=（49+1）（49-1）+12=2400+1=2401
这里要说明的是底数应选较靠近的整十为基数，使计算容易一些。如上面的492的49靠近50，所以选50，而不选492=（49+9）（49-9）+92
同理，712的71靠近70，故712=（71+1）（71-1）+12=5041
推广2：首位数相同，尾数和为10的两位数的积，也可仿照尾数是5的两位数平方的方法进行计算。
例：
〖XC34.JPG;%29%29〗
证明：因为尾数和为零，所以这些尾数分别是1和9、2和8、3和7、4和6、5和5，他们的中位数得5。那么首位相同尾数是5是两个因数的中数。如13×17，中数是15，98×92
中数是95.我们设这个数为C，中数和这两个因数的差是±D=±（0，1，2，3，4）;两个因数分别是C1、C2
〖XC35.JPG;%29%29〗
〖XC36.JPG;%29%29〗
中学数学要求学生们熟记1-100的平方，对于一些忘记或模糊的答案，或求类似上面的两个因数的积，我们用上面的方法就可很快地找出正确的答案。
用比例解应用题是小学高年级常用到的，到了中学又经常用比例来解相似三角形，大家并不陌生。下面再以匀速运动为例谈谈比例的应用。
例1：甲乙二人在400米环形跑道上练习长跑，同时从同一起点出发，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，已跑几圈后，甲可超过乙一圈？
分析：他们所需要的时间是相等的，所以〖SX（〗S乙〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗V甲〖SX）〗
推出〖SX（〗V甲〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗，〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗=〖SX（〗圈长×圈数甲〖〗圈长×圈数乙〖SX）〗，因为圈长是定长且相等，
所以〖SX（〗S甲〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗圈数甲〖〗圈数乙〖SX）〗。
解：设乙跑X圈，甲可超过乙一圈，得〖SX（〗X〖〗X+1〖SX）〗=〖SX（〗4〖〗6〖SX）〗=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗，
解得X=2
答：略。
这里，圈长不论多少米，总有乙跑2圈，甲可超过乙一圈。
例2：两船在湖的A、B两处同时相对而行，距A处5公里时相遇后又继续前进，分别到达A、B两处后又即时返回，距B处3公里相遇，问A、B两处的距离？
分析：因为在湖中行驶，可看是静水航行，水速为零，又把两船的航速看作是匀速的，时间也相等，于是〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗=〖SX（〗V甲×t〖〗V乙×t〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗，即第一次相遇所走的路程比等于他们在第二次相遇时所走的路程比。
解：设A、B两处的距离为X公里，得〖SX（〗5〖〗X-5〖SX）〗=〖SX（〗X+3〖〗2X-3〖SX）〗，解得X=2（X=0舍去）
答：略。
例3：一行军队的队伍长8米，通讯员从排位追到排头传达命令后又回到排尾，这时队伍正好前进了8米，问通讯员走了多少路程？
分析：这道题看乎数字少，比较难解，其实和例2是一样的，可用〖XC37.JPG;%30%30〗，即通讯员从排尾追到排头传达命令所走的路程与队伍已走的路程比等于通讯员从排头回到排尾的路程与队伍继续前行的路程比，也等于通讯员共走的路程比。
解：设通讯员追到排头时，队伍前进了X米，得〖SX（〗X〖〗8+X〖SX）〗=〖SX（〗8-X〖〗X〖SX）〗，解得X=4〖KF（〗2〖KF）〗（负数舍去）
通讯员共走了8+2X=8（1+〖KF（〗2〖KF）〗）（米）
答：略。
上面例2、例3亦可用辅助未知数时间t列方程。
例2解法：设A、B两处的距离为X公里，第一次相遇时用t小时，得
〖SX（〗X+3〖〗〖SX（〗5〖〗t〖SX）〗〖SX）〗=〖SX（〗2X-3〖〗〖SX（〗X-5〖〗t〖SX）〗〖SX）〗
例3解法：设通讯员追到排头时，队伍前进了X米，用了t分钟，列方程得：
〖SX（〗X〖〗〖SX（〗8+X〖〗t〖SX）〗〖SX）〗=〖SX（〗8-X〖〗〖SX（〗X〖〗t〖SX）〗〖SX）〗
这两个方程都除以t就与用比例列的方程相同。
上面三道题的共同点就是匀速前进，其他外力不计。这样，速度比等于相应的路程比或圈数比，第一时间所走的路程与第二時间所走的路程成正比，可用比例列出等式求解。另外，还可多设一个辅助未知数，这样列出方程更清晰一些，而这个辅助未知数容易给人一个错觉，即一个方程两个未知数，它的解是个不定解。其实这个辅助未知数只起到过渡作用，只要方程两边都除以（乘以）这个辅助未知数，方程就变成比例的形式。
用比例解应用题，在中学阶段，在我们现实生活中是不可忽略的。
总的来说，生活中的数学是取之不尽，用之不完的。
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