论不同音乐时期与钢琴曲内不同和弦运用频率的联系

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　　【摘要】通过对乐理的系统学习，我认识到凭借直觉来分辨不同的音乐风格的技能并不是源自于我与众不同的能力，而可能与作曲家在不同时期使用和弦的习惯有关。为此，我将深入研究不同音乐时期作曲家的和弦习惯中的差异。在我选定的曲目中，通过构造合适的马可夫链并计算稳态分布，我将用数据的形式来展现我的假设是否成立，不同时期的乐曲是否有和弦运用习惯上的差异，并结合我的音乐知识来进一步分析。
　　【关键词】音乐时期;音乐风格;频率
　　【中图分类号】J624                             【文献标识码】A
　　序言
　　音乐是善变的。它由巴洛克时期的严格控制的旋律对位，演变成古典时期的抒情歌唱式的旋律，再演变到浪漫时期倾泻感情的风格。之所以不同时期的音乐风格迥异，主要源于不同时期作曲家对和弦和和弦进行的差异。为了更深入地了解这一现象，我通过6首曲子研究了音乐时期与和弦使用习惯上的关系。本文将对此次研究的成果加以展开分析。本文假设我所选取的6首曲子在各个时期都是具有代表性的。同一时期中的其他曲子应有类似的和弦数据。然而，由于我们在每个时期只选择了2首曲目，这些样本可能无法涵盖该时期所有和弦使用上的特征。
　　一、数学模型
　　以下是本文中会用到的定义：
　　概率向量-所有项相加得1，并且每一项在0到1之间（可取0，1）的向量。
　　随机矩阵-行或列皆为概率向量的正方矩阵。
　　a.右随机矩阵-行为概率向量的正方矩阵。
　　b.左随机矩阵-列为概率向量的正方矩阵。
　　马可夫链-由一个状态变换到另一个状态的随机过程。
　　马可夫链矩阵-一个包含马可夫链中所有状态间变换的概率的随机矩阵。
　　稳态向量-给定随机矩阵S，稳态向量p是一个满足以下条件的概率向量：
　　（1）若S为右随机矩阵，则p是一个列向量并且Sp=p。
　　（2）若S为左随机矩阵，则p是一个行向量并且pS=p。
　　和弦进行-和弦间的变换
　　这里我会讨论数学上马可夫链的方法是如何运作的。马可夫链根据于以下重要定理。该定理确保在大多数实际运用的情况下，稳态向量存在并是唯一的。
　　定理：每个元素都是正数的右随机矩阵有一个唯一的稳态向量。
　　本文将不会包括该定理的证明，因为该定理的证明包含与本调查目标无关的复杂计算与数學知识。尽管如此，我会在这里给出一个证明的大概框架。
　　二、应用
　　通过数曲目中和弦进行出现的频率，我们可以为每首曲目构造一个马可夫链。在每个马可夫矩阵S中，ski代表该曲中由k和弦变换到i和弦的概率。举个例子，s11=二分之一表明在该曲中，由I和弦开始，有一半的和弦变换到了另一个I和弦。
　　给定一个马可夫链，我们可以计算它的稳态向量。稳态向量代表了每个和弦的出现概率。换句话说，pk告诉我们和弦k在曲目中出现了多少次。举个例子，如果稳态向量是（10…0），那么这个曲目中只有I和弦。p1=1告诉我们I和弦的出现概率是100%，也就是说所有的和弦是I和弦。p2=p3=…p7=0告诉我们其他的和弦没有在曲目中出现一次，与之前有关p1的结论相符。
　　三、数据
　　我们通过一个在线稳态向量计算器（2）来计算以上概率矩阵的稳态向量。每一个元素代表该时期中该和弦出现的概率。
　　四、分析
　　总体来说，I和弦和I-I和弦进行在三个时期中都有较高的出现频率。这可以体现作曲家使用I和弦的习惯是不受音乐时期所影响的。在音乐中，I和弦是建立在曲目基调的音上的主和弦，因此有着不可替代的重要性。正是如此，在很多和弦进行中I和弦都会被用到，所以它的出现频率是不受音乐时期的演变而影响的。
　　五、结论
　　三个时期的稳态向量展示了和弦运用在不同时期里的显著差异。巴洛克和古典音乐家喜欢用大调和弦，比如I，IV和V，而浪漫时期的音乐则包含了相对平衡的和弦使用，包括一些非寻常的和弦，如减七。这样的差异让巴洛克和古典音乐带有一种严格的感觉，而浪漫时期的音乐则更具有创造力与感染力。也许这就是为什么我能够通过听一首曲子就直接判断该曲子所处的音乐时期。马可夫链仅仅代表了有限的曲目样本与变量，仅能找到和弦与时期的相关性，但不能说明与作曲家有没有相关性。这可能会导致本文的结论不一定一直成立。尽管如此，马可夫链给予了我精确而简短的展示并分析和弦数据的方式。自始至终，和弦的使用一直在变迁，而这导致的就是不同音乐时期的形成，并帮助音乐学家将过去的音乐分类成三个时期：巴洛克、古典与浪漫。
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