规范理论一百年（上）

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　　1918至1919年的一个错误理论开启了一个伟大征程，导致描述自然界三种基本力的理论框架，以及很多重要的物理学和数学成就。为这一征程做出贡献的很多物理学家与数学家获得诺贝尔物理学奖或者菲尔茲奖和阿贝尔奖。
　　1918至1919年的规范理论
　　1918至1919年，位于苏黎世的瑞士联邦工业学院的赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）发表了三篇文章，试图将电磁力纳入引力几何理论的框架（1-41。这就是规范理论的开端。外尔是20世纪最有影响的数学家之一。曾获得菲尔兹奖和阿贝尔奖的阿蒂亚（Michael Atiyah）爵士曾经告诉笔者，外尔是他的偶像之一。
　　外尔的这三篇文章，以《引力与电》（Gravitationund Elektrizitat）一.文为主，该文发表于《普鲁士科学院院刊》。正是在这个杂志上，爱因斯坦1915年发表了引力的几何理论，也就是广义相对论，揭示了引力本质上是物质所导致的时空的弯曲。
　　1905年，爱因斯坦提出狭义相对论。闵可夫斯基注意到，狭义相对论将时间和空间统一为四维时空。十年以后，爱因斯坦的广义相对论指出，物质使得时空弯曲，弯曲时空又决定物质的运动。相对论是爱因斯坦最大也是最著名的贡献，但是他获得1922年诺贝尔奖主要是由于对光电效应的理论解释。为了领会时空弯曲的含义，让我们想象一个球面。在球面上的某一点放一个箭头，箭头从这一点指向某个方向。然后我们将箭头的底端在球面上移动，移动过程的每一个瞬间，都保持箭头方向不变，这叫平行移动。然而，对于有限长度（非无穷小）的移动，箭头方向却变了。我们可以让箭头底端沿着某个闭合曲线平行移动一圈，回到原来的位置，箭头的方向不再是原来的方向。这是球面弯曲所导致的。在弯曲时空里，道理与此类似，矢量的平行移动可能改变其方向，但大小不变。
　　当时人们了解到，自然界有两种基本力，除了引力，就是电磁力。所以外尔自然地想将电磁力（由电磁势决定）也纳入广义相对论的框架。他试图推广平行移动的观念，构想矢量平行移动时，不仅方向变化，大小也变化。对于无穷小的平行移动，矢量大小改变无穷小倍，外尔假設这个无穷小倍数正比于电磁势的无穷小改变。不难推导出，对于一个有限长度的平行移动，矢量大小就变成原来的大小乘以一个指数因子，指数正比于电磁势沿着路径的积分（即每一点的电磁势的累加）。这个改变矢量大小的指数因子依赖于平行移动所经过的路径，所以叫做不可积标度因子。这个结论很奇怪。在相对论里，尺子大小和时钟快慢都可以看成矢量的大小。按照外尔的理论，两点之间的尺子大小和时钟快慢的改变居然取决于尺子和时钟沿什么路径移动！这就是爱因斯坦在外尔《引力与电》一文后所作评论的内容。评论后面还发表了外尔篇幅很长但没有说服力的答复，但是他承认自己“像野鹅一样追逐疯狂的概念”。
　　在外尔的这篇文章中，有一句话体现了外尔的思考方式（本文中的直接引文均为笔者译自英文）：“电磁守恒定律与新的规范不变性联系起来，通过第五个任意函数表达。在我看来，这与能量动量原理的类似是对当前理论的最强论证一只要在纯粹猜想的情况下允许谈论论证。”可以看出，外尔的信心源于他提出电磁守恒定律背后的不变性，或者说对称性。这里的守恒量并非今天我们所知的电荷（那需要修正后的规范理论）。这里，外尔将对称性导致的守恒量与能量动量守恒相比较。这些都可以当成诺特定理的例子。诺特定理是说，连续对称性对应于守恒量。不知外尔当时是否已经知道也发表于1918年的诺特定理6。当时诺特在哥廷根大学希尔伯特的麾下，但是五年前外尔就已经离开了。
　　量子论拯救规范理论
　　量子论出现以后，1922年，外尔的朋友薛定谔猜测，可以在外尔的标度因子的指数里加，上虚数单位i”。这样，标度因子就成了一个模为1的复数，即量子力学波函数的相位因子。但是薛定谔当时还没有波函数的概念，只是笼统地说某个“长度”。后来人们发现，这个工作对薛定谔1926年创立波动力学起了启发作用[8-10。也是在1922年，在经典理论中，卡鲁扎（Theodor Kaluza）将4维时空推广到5维时空，其中某些度规分量代表电磁势。当理论不依赖于第5维坐标时，5维坐标变换退化为4维坐标变换和1维规范变换。
　　1926年，薛定谔通过4篇文章创立了量子力学的波动力学表述（因此分享1933年诺贝尔物理学奖）。他在第4篇文章中指出，电磁场中带电粒子的动量和能量算符必须包含电磁势川。同样是在1926年，克莱因（OskarKlein）和福克（Vladimir Fock）分别讨论了卡鲁扎理论对应的波动力学。福克特别指出，波丽数运动方程具有规范不变性，就是说，将波丽数乘以相位因子，同时电磁势做相应的变换，运动方程依然成立。
　　1926年底，伦敦（Fritz London）给薛定谔写了一封信，询问他1922年对规范因子的修改与他1926年波动力学的联系18-10]。然后伦敦自己写了两篇文章，将通常的波动力学与外尔的规范理论联系起来，将外尔的不可积标度因子改为波丽数的不可积相位因子[14-151。伦敦的工作没有福克的5维理论的额外负担。
　　规范理论的重生
　　在伦敦和福克工作的铺垫基础上，外尔在1928年的《量子力学中的群论》一书 和1929年的两篇文章中，终于修正了他1918至1919年的理论，正式将标度因子改为相位因子，将标度不变性改为相位不变性，但是沿用了原来的名词“规范（eich）”。我们特意将他在1918-1919年间的不可积因子称作标度因子，因为标度因子和相位因子都称作规范因子。2019年恰好也是规范理论重生九十周年。1929年的这两篇文章是外尔以美国普林斯顿大学访问教授的身份完成的。第一篇是发表于《美国科学院院刊》（PNAS）的英文概要《引力与电子》（Gravitation and the electron），里面出现了“规范不变原理”（principle of gauge invariance）。第二篇是德文文章，发表于《物理学杂志》（Zeitschrift fir Physik），内容详尽，标题是《电子与引力（一）》（Elektronund gravitation.I）。两个标题与他1918年的《引力与电》颇为呼应。 　　规范不变原理当然就是外尔1929年文章中最重要的内容。在量子力学框架下，电磁学作为规范不变的后果被推导出来，规范不变性还导致电荷守恒。这里的规范变换已经不是一个实数的标度因子，而是相位因子（指数上有个虚数单位），规范不变性事实上是相位不变性。这就是我们今天熟悉的规范理论。
　　导致电荷守恒的规范不变是在整体规范变换（又称第一类规范变换）下，也就是相位变换与时空坐标无关，对每时每地的波丽数作同样的相位变换。这可以看成诺特定理的例子，虽然外尔没有直接提到诺特定理。1929年，诺特定理已经广为人知。而导出电磁学的规范不变性对应于局域规范变换（又称第二类规范变换），也就是说，相位因子依赖于时空坐标。
　　外尔1929年的文章仍然将引力和电磁力通盘考虑，但是现在需要考虑量子力学，出发点是引力场中的电子自旋。因此外尔讨论了二分量旋量理论（用两个波丽数描述电子），包括具有手征性的外尔旋量（后来被称为外尔费米子）。
　　笔者发现特别有趣的是，在外尔的理论中，局域平直时空依赖于时空坐标，从而导致了一种联络，与时空弯曲的克里斯托弗尔联络相加，类似于后来人们所知的非阿贝尔规范势，而相应的黎曼张量类似于非阿贝尔规范场场强！
　　被誉为“物理学的良心”并自称“上帝的鞭子”的量子力学创始人之一泡利（因不相容原理独享1945年诺贝尔物理学奖）写了一封信给外尔：“我面前是4月份的《美国科学院院刊》。里面的‘物理’栏目下不仅有你一篇文章，而且表明你现在在一个‘物理实验室’工作：听说给了你一个美国的物理教授职位。我欣赏你的勇气;因为不可避免的结论是，你希望不是用纯数学的成功来评价你，而是用你真实但是不愉快的对物理学的热爱来评价你。”
　　外尔这篇文章引起泡利的反感是可以理解的：外尔1918年的文章是带着爱因斯坦的质疑一起发表的，泡利当年也反对4，现在居然卷土重来，再加上文章里面的二分量理论是违反宇称守恒的。后来，1933年，泡利在他著名的《物理学手册》的文章里仍然批评二分量理论。1957年1月，泡利聽说吴健雄等人关于弱相互作用中宇称不守恒的实验后（弱相互作用是主宰粒子衰变的基本相互作用），先是表示不相信宇称不守恒，十天后读了论文，才改变看法。
　　但是泡利看了外尔1929年第二篇规范理论的文章后，态度完全变了，又写了一封信19-201：“与我上次难听的话相反，我上封信的主要部分已经被否定，特别是被你在《物理学杂志》上的文章否定。因此我后来后悔给你写上封信。研究了你的文章后，我想说我真正弄懂了你想做的（根据你在《美国科学院院刊》上的短文，情况不是这样）。首先让我强调我所完全赞同的方面：你将旋量理论纳入引力理论框架。……这里我必须承认你的物理能力。你早期用gik=λgik的理论是纯数学，没有物理意义。爱因斯坦对你的批评与责备是有道理的。现在你的复仇时刻到了。”
　　1930年，外尔去哥廷根大学任教，成为他的导师希尔伯特的继任者。
　　泡利成了规范理论的支持者。在上面所说的他1933年《物理学手册》文章中，也介绍了外尔的规范理论。
　　也是在1933年，外尔收到普林斯顿高等研究院的教授聘书，他没有接受。后来德国政治局势恶化，他接受了普林斯顿高等研究院的再次相聘。他在那里工作到1951年退休，后来在苏黎世和普林斯顿两地生活，以苏黎世为主。
　　虽然经典电磁学中也讨论规范和规范变换，但是这个名词的使用是在1929年外尔用量子力学修改规范理论之后。
　　克莱因和泡利
　　质子和中子统称为核子，通过强核力结合成原子核。1922年，考虑到强核力与每个核子是质子还是中子无关，海森堡提出同位旋的概念，类似于自旋，将质子和中子表示成同位旋的两种基本状态，而在强核力下，同位旋守恒。海森堡因为最早取得从老量子论到量子力学的突破，独享1932年诺贝尔物理学奖。1936年，汤川秀树提出强核力的介子理论，即核子之间通过交换介子而产生强核力，正如带电粒子之间的电磁力通过交换光子而实现，因此独享1949年诺贝尔物理学奖。光子没有质量，所以电磁力是长程的，但是介子是有质量的，所以强核力只能局限于很短的距离。
　　数学上，外尔的规范变换属于U（1）变换，只有1个波函数作一个相位变换。而核子的同位旋变换属于SU（2）变换，对应于两个同位旋状态的2个波函数做满足一定条件的变换。对于某种变换而言，如果连续做两次变换的结果与顺序无关，就叫阿贝尔的，否则就叫非阿贝尔的。U（1）变换是阿贝尔的，SU（2）变换是非阿贝尔的。
　　1938年，克莱因在波兰的一个会议上提出一个包含引力、电磁力和强核力的统一理论，将上面提到的卡鲁扎一克莱因理论中对第5维坐标的无关性改为依赖于某个相位因子，其中第5维坐标出现在指数上。这个新理论中，某些度规系数成为具有SU（2）非阿贝尔规范结构的矩阵。克莱因将此理论用于核子。克莱因并不要求该理论具有SU（2）规范不变性。不过他评论说质量项可能不需要，质量也许可以来自某种自能，这个猜想有点后来的希格斯机制的精神。克莱因的报告没有引起与会者多少兴趣，后来又只是发表在会议文集，再加上二战的爆发，这个工作没有引起关注。
　　1953年在莱顿召开的洛伦兹一昂内斯会议上，普林斯顿高等研究院的派斯（Abraham Pais）为了研究粒子分类，提出一个基于同位旋的场论，将每个时空点推广为一个2维球面，试图将外尔的电荷守恒推广到同位旋守恒。派斯只考虑了整体规范变换，也就是说，SU（2）变换与时空坐标无关。泡利在场，他评论道（20.241：“我有个关于介子和核子相互作用的具体问题…我很赞成将守恒定律和不变性质与大自然在数学上的变换群联系起来。如果除了能量守恒和电荷守恒，核子数的守恒和核力的电荷无关确定无误，那么它们确实必须与自然定律的群论性质联系起来，正如派斯现在试图用数学表达.的....与此相关，我想问，是否这个常数变换群（同位旋群）能够扩大，与电磁势的规范群类似，从而介子一核子作用与这个扩大的群联系起来……” 　　泡利是在问，能否将与时空坐标无关的同位旋SU（2）整体变换改为依赖时空坐标的SU（2）局域规范变换。他自己立即研究了这个问题。泡利熟悉规范理论，以前也研究过引力和电磁力的统一，赞成外尔将电子旋量理论与引力理论结合起来。
　　在1953年7月和12月给派斯的两封信中，泡利描述了自己的理论，题为“介子一核子相互作用与微分几何”（Meson-nucleon interaction and differential geometry。他也用卡鲁扎-克莱因理论，但是采用了两个额外维度。在他的理论中，电磁势不是来自度规，而是来自克里斯托弗尔联络。泡利在这里没有写下规范场的拉格朗日量以及场方程，也没有正式发表这个理论。但他在1953年秋天做过相关演讲，后来他的学生整理了讲义。1954年泡利在给杨振宁的一封长信中说，他的学生在这个讲义里讨论了规范场的拉格朗日量。1953年12月，泡利给派斯的另一封信中说：“如果试图给出场方程，……那么总是得到静止质量为0的矢量介子。”着重标志是泡利本人所加。这里以及后来泡利与杨振宁的对话以及给杨振宁的长信反映出，泡利意识到规范粒子的质量是个麻烦。这是因为如果规范粒子有质量，理论的规范不变性也就失去了;而如果规范粒子没有质量，则意味着规范场可以将作用力传递无限远，但是这与强核力的情况不符。
　　杨-米尔斯理论
　　杨振宁当时是普林斯顿高等研究院的年轻成员，是派斯的同事，但是1953年夏至1954年夏，他在布鲁克海文实验室访问。杨振宁曾经回忆：“我在昆明和芝加哥做研究生时，认真学习了泡利关于场论的综述文章。我对电荷守恒与理论在相位变化下不变的关系印象非常深刻。后来我发现这些思想来源于外尔。印象更深的是，规范不变性决定了整个电磁相互作用。”杨振宁接着回忆，在芝加哥读研究生时，他就开始尝试将规范理论推广到同位旋。2005年出版的《杨-米尔斯理论50年》（50 Years of Yang-Mills Theory）收人了杨振宁在1947年的三页笔记，编者特霍夫特（Gerardus’t Hooft）说，“这是一个当时在为规范不变性概念而努力的研究生的笔记，距1954年的杰作还有一段长路。”1947年后杨振宁还进行了很多不成功的计算。
　　后来随着实验上越来越多的介子被发现，杨振宁认为需要一个写下相互作用的原理。所以1953年夏天在布鲁克海文实验室，杨振宁回到这个问题。当时，他与即将在哥伦比亚大学博士毕业的米尔斯（Robert Mills）共用一个办公室。这一次，两人终于完成了规范理论的非阿贝尔推广。
　　1954年2月，杨振宁回到普林斯顿高等研究院作学术报告，介绍这个理论。泡利在听众中，那个时期他与老朋友外尔一样在苏黎世与普林斯顿高等研究院之间“振荡”。犀利的泡利不断问杨振宁规范粒子的质量。杨振宁回答说不知道，曾经研究过，但是没有明确结论。泡利说：“这不是充分的理由。”第二天，杨振宁收到泡利的短信，去找泡利。泡利建议杨振宁去看薛定谔关于引力场中狄拉克方程的文章。杨振宁发现，里面的方程一方面与黎曼几何有关，一方面与他和米尔斯的方程类似12]。这个月，泡利还写了一封长信给杨振宁，将自己之前的结果在平直时空和其他条件下简化，与杨-米尔斯的结果一致，并说他的学生讨论了规范场的拉格朗日量。泡利最后写道：“但是我曾经而且仍然对粒子静止质量为零的矢量场感到反感和泄气（我不将你的’復杂’之说当回事），而且也存在电磁场的特性导致的群的困难。”
　　杨振宁和米尔斯的工作与广义相对论完全无关，没有额外维度的负担。在他们的文章之前，除了伦敦的文章和泡利的综述，研究不可积规范因子和规范理论的论文都将规范场与引力纠缠在一起，这有一定误导性，但有一定技术上的优势。杨振宁和米尔斯在明确的物理动机下，提出清晰的非阿贝尔规范理论。但是因为他们当时不了解规范场的几何意义，不知道场强可以直接从协变导数的对易子得到。而克莱因和泡利的工作是在弯曲时空理论的框架中，所以很自然地通过协变导数的对易子得到场强。不过笔者注意到，在泡利当初介绍外尔规范场的综述文章中，对于通常的平直空间，也用协变导数的对易子表示了场强。杨振宁大概没有留意到这一点，否则推广的过程会顺利很多。
　　尽管受到泡利的批评，杨振宁依然认为想法很美，应该发表。这体现了巨大的勇气，因为泡利的批评有强大的杀伤力。比如1925年，乌伦贝克（George Uhlenbeck）和古德斯米特（Samuel Goudsmit）提出电子具有自旋。这个贡献没有得到诺贝尔奖，因为克勒尼希（Ralph Kronig）大半年前提出同样想法，但在泡利、海森堡和克拉默斯（Hendrik Kramers）反对下没有发表。
　　2012年，杨振宁说：“这篇文章是我一生最重要的工作。虽然未竟全功，但是决定当时发表是极正确的。
　　1954年，杨振宁和米尔斯其实发表了两篇文章，提出杨-米尔斯理论。第一篇只是杨振宁在当年美国物理学会四月会议所作报告《同位旋守恒与推广的规范不变性》（Isotopic spin conservation and ageneralized gauge invariance）的摘要，发表在《物理评论》（Physical Review），但是很好地总结了杨-米尔斯理论的物理思想：“同位旋守恒与电荷守恒类似，显示存在一个基本的不变定律。在后者的情况，电荷是电磁场的源;这里的一个重要概念是规范不变性，它紧密相关于（1）电磁场的运动方程，（2）流密度的存在，（3）可能存在的带电的场与电磁场的相互作用。我们尝试将这一规范不变性的概念推广，以运用于同位旋守恒。结果表明，这个推广很自然。与电磁场类似的场是一个矢量场，即使其他场不存在，也满足非线性方程。（与电磁场不同，这个场具有同位旋，是它自己的源。）流密度自动存在，这个场与其他任意同位旋的场的相互作用具有确定形式（除了与电动力学中的反常磁矩作用相类似的可能项）。”他们另一篇文章是详细的论文《同位旋守恒与同位旋规范不变性》（Conservation of isotopicspin and isotopic gauge invariance），6月28日被《物理评论》收稿。此文的摘要强调了局域变换：“本文指出通常在同位旋旋转下的不变性原理与局域场的概念不融洽。本文探讨在局域同位旋旋转下的不变性。这导致建立了一个同位旋规范不变性原理和某个b场粒子的存在，它与同位旋的关系类似于电磁场与电荷的关系。b场满足非线性微分方程。b场的量子是自旋为1、同位旋为1、电荷为土e或0的粒子。”文章最后说明，对于规范粒子的质量问题，还没有满意答案，并指出质量为零的选项面临发散的困难。 　　我们顺便提一下，整体对称也是合法的，不与规范对称矛盾，两种对称都存在，前者也可看成后者的特例，事实上电荷守恒正是整体相位变换不变性的后果。
　　虽然是一个很美的理论，但是杨-米尔斯理论没有能立即用到物理上。当时除了在普林斯顿，杨振宁只在哈佛大学作过一次介绍这个工作的演讲。
　　2012年，杨振宁评论：“最近一些年，经常有人问我，为什么1954年泡利没有发表他关于规范场的计算，而米尔斯和我发表了。我认为答案在于我们关于以下两者不同的价值判断：（A）规范不变性的美和力量，以及（B）规范玻色子的质量问题。对于米尔斯和我来说，中心动机来自（A），正如我们的短摘要（译注：上文已引述）所表明的。至于（B），米尔斯和我探讨了各种可能性，在我们1954年的文章最后总结道：‘因此我们没有得到关于b量子的质量的任何结论。’也就是说，我们将（B）当作未来的问题。对于泡利来说，规范不变性的美显然没有被充分领会。他对整个想法有持续的负面态度。参见文章[85j]的脚注34。因此（B），质量问题，对于泡利来说，成为中心和决定性的。”这里提到的[85j]就是杨振宁的《外尔对物理学的贡献》，里面的脚注34指出，泡利生前最后一些年对规范场的思想持负面态度，并提到1956年泡利曾经为他1921年的文章《相对论》写过一系列后记，其中关于“外尔的理论”的后记不再如他1921年的文章那样正面。
　　顺便提一下，1955年剑桥大学萨拉姆的学生肖（Ronald Shaw）的博士论文也讨论了规范理论的SU（2）推广。肖声称他1953年看到施温格（Julian Schwinger）的一篇论文预印本用SO（2）讨论电磁规范理论，便将其推广到SU（2）。肖所做的只是一个未发表的数学练习，他和萨拉姆都没有意识到非阿贝尔规范场的重要意义。1955年内山菱友（Ryoyu Utiyama）完成了一篇探讨一般规范结构的论文，次年发表，其中以电磁学、引力和杨-米尔斯场作为例子。内山声称其主要工作完成于1954年3月底，但并没有成文，而且这已经是在杨振宁的普林斯顿演讲之后。
　　总之，杨振宁和米尔斯成为非阿贝尔规范理论的创立者，非阿贝尔规范理论也被称为“杨-米尔斯理论”。1999年，在美国物理学会成立100周年之际，杨振宁当初的同事和见证人派斯写了理论粒子物理的历史综述，其中写道：“1954年，两篇精彩的短文标志着非阿贝尔规范理论的开端（译注：派斯在这句话后面引用了杨振宁和米尔斯的两篇文章）。它们处理一种全新的强相互作用，由零质量矢量介子传递。这个工作引起很大兴趣，但是如何应用这些深奥的想法是另一回事，那时没有矢量玻色子，更不用说零质量的矢量玻色子。问题一直被搁置到1970年代。”
　　杨-米尔斯理论的发表使得很多物理学家开始关注这个问题，成为一个候选理论，虽然并没有立即成功解决具体物理问题。杨振宁回忆：“1950年代后期，规范理论被用到强相互作用和弱相互作用。1960年，樱井（JunJohn Sakurai）發表了一篇很热切的文章，提出强相互作用的非阿贝尔规范理论。”（271但是杨振宁认为樱井的做法破坏了规范不变性这一规范理论中最美妙的观念，认为不应当马马虎虎地将规范理论变为唯象的东西。1961年，格拉肖（Sheldon L.Glashow）如樱井一样，硬行假设规范粒子具有质量，提出一个具有U（1）xSU（2）对称性的模型，以统一电磁相互作用和弱相互作用。
　　另一方面，杨-米尔斯理论也引起一些纯理论的兴趣。1960年代，费曼（Richard Feynman）、德维特（Bryce DeWitt）、波波夫（Victor Nikolaevich Popov）和法捷耶夫（Ludvig Dmitrievich Faddeev）研究了杨-米尔斯理论的量子化。因量子电动力学的重正化，费曼和施温格（Julian Schwinger）、朝永振一郎（Shinichiro Tomonaga）分享1965年诺贝尔物理学奖。
　　[本文作者受国家自然科学基金面上项目（11574054）资助。]
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　　关键词：外尔 規范理论 规范场 杨-米尔斯理论 标准模型 粒子物理
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