系统与控制理论应用背景融入线性代数课程教学的探讨

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　　【摘要】线性代数在系统与控制理论学科领域有着广泛的应用，是该学科领域的基础知识。相比于纯粹的线性代数理论知识讲授，以系统与控制理论应用背景驱动的线性代数课程教学更能提高学生的学习兴趣和动力，培养学生自主学习能力和探索能力。本文我们主要探讨如何在线性代数课程教学中融入系统与控制理论应用背景。
　　【关键词】线性代数 系统与控制理论应用背景
　　【中图分类号】O151.2-4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）32-0036-01
　　线性代数是系统与控制理论应用学科的一门重要的数学基础课程，尤其是矩阵理论在该学科领域起到重要的基础性作用。学生学习线性代数主要有两方面的学习目标：一是学习线性代数的基础知识、基础理论，为后续数学课程和应用学科打下理论基础； 二是学会利用线性代数来解决实际应用问题。但是目前学校线性代数课程主要以理论知识的讲授为主，这样不仅不利于学生的理解和掌握，而且不利于发挥学生的主观能动性、提高学习兴趣和将所学知识用于解决实际问题。本文将从如下两方面探讨如何将系统与控制理论应用背景融入线性代数课程的教学过程。
　　一、线性定常系统的能控性与能观测性的应用背景融入矩阵的秩的教学
　　在线性代数课程中，一个矩阵的列秩是该矩阵的线性无关的列向量的最大数目。类似地，一个矩阵的行秩是该矩阵的线性无关的行向量的最大数目。矩阵的行秩等于列秩，都称为矩阵的秩。向量的线性无关性概念对于学生而言本身就比较抽象，由此引入的矩阵的秩的概念更会让学生觉得难以理解和掌握。但是在教学过程中如果能够以其在系统与控制理论的应用背景切入，这样学生在相关应用背景的引导下，更会富有兴趣地进行探索和思考，从而更有成效地完成整个知识点的学习和掌握。矩阵的秩对应的应用背景有系统的能控性和能观性，这两个性质是系统的两个重要的基本特征，对于系统的估计和控制有重要的研究意义。对于一个线性系统，我们用矩阵A表示状态向量的n×n系数矩阵，B表示控制输入向量的n×m系数矩阵，C表示输出向量的m×n系数矩阵。由线性系统的经典结论可知，该线性系统完全能控当且仅当n×nm矩阵[B AB…An-1B]的秩为n；该线性系统能观当且仅当nm×n矩阵[C CA…CAn-1]T的秩为n。这样一来，研究系统的能控性和能观测性直接转化为计算相应矩阵的秩，相当于将研究线性系统的重要特征转化为线性代数中计算矩阵的秩，可见矩阵的秩在系统与控制理论应用领域中具有重要的应用背景。
　　二、系统的稳定性融入方阵的特征值的教学
　　自动控制系统最重要的一个特性是稳定性，工程技术中的实际系统需要是稳定的，不稳定的系统在工程实践上工程师是没法对其实施操作的。对于线性系统而言，其稳定性的研究实际上转化为相应的系统矩阵的特征值的分析。矩阵在表示方程组方面具有重要的应用，我们通过用方阵A表示的方程组来描述一个线性系统：
　　其中X（t）是n×1的系统状态向量，矩阵A表示状态向量的n×n系数矩阵，X0是系统的初始状态。该系统的状态可以显式地表示为：X（t）=eAtX0，该系统是否稳定完全取决于矩阵A的特征值是否都具有负实部。通过这样形象深入地闡述方阵的特征值的应用背景，带动学生去对教学内容进行主观思考，发挥学生学习的主观能动性、提高学习乐趣和提高学习效率。
　　综上所述，线性代数作为一门数学基础理论课程，其内容本身具有一定的抽象性和理论性，纯粹的理论数学知识讲授未必能发挥较好的教学效果。因此如果能够在线性代数教学中融入其在系统与控制理论的应用背景，在实际应用问题背景驱动下，发挥学生的主体地位，提高学习兴趣，引导学生进行思考、探索，对学生全方面的综合素质都会有一定的提高。
　　参考文献：
　　[1]杨国华.基于问题解决的线性代数课程教学设计研究[J].智库时代，2017（11）：205+226.
　　作者简介：
　　吕春婉，1987年1月出生，女，博士，讲师，研究方向为计算数学和系统控制理论。
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