拓展隔板法在高中数学解题中的应用
来源:用户上传
作者:毛惠明
[摘 要] 在排列组合中，传统的隔板法在应用中有着诸多限制，应用范围较窄，结合在教学中的经验對隔板法进行再思考，彻底改变了传统隔板法的思维模式，并拓展了隔板法的应用范围。
[关 键 词] 捆绑法;插空法;隔板法;拓展隔板法
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）17-0080-02
在组合数学中，隔板法（又叫插空法）是排列组合的推广，主要用于解决不相邻组合与追加排列的问题。在高中数学排列组合问题中，常见的解题方法有“捆绑法”“插空法”“隔板法”等。笔者经过多年的教学实践，对众多方法中的“隔板法”进行深入研究，改变了此方法的传统思考模式，同时拓展了此方法的应用范围。本文将对此方法作一个详细介绍。
一、对“隔板法”的再思考
（一）传统的隔板法
对隔板法来说，就是在n个元素间插入（b-1）个板，即把n个元素分成b组的方法。简而言之，就是排列组合中的一种解题应用模型，是将“实际分配问题”或较复杂的数学“球盒问题”转化为“球板模型”的一种重要方式。其中用球代表相同元素，用板所隔出的几个部分代表相应的分配集合，也就是“球”。通过隔板的不同插入方式，得到不同的分配结果。这里需注意的是，既然是插隔板，那么每个空只能插一个，即两个隔板间至少一个元素。（而板的插入方式则可由简单的计数原理插空法计算得出）
传统的隔板法把隔板“当成”元素插入元素的空隙间，每一种插法对应一种排列组合的方式，以此得到解题结果。我们先看一个简单的例子。
例1.将5个相同的球放入三个盒子，每个盒子均不能为空，共有多少种不同的分配方案？
分析：问题可看成把5个球分成三份，且每份非空，我们可以用两个隔板达到这个目的。先将5个球并成一排，
○ ○ ○ ○ ○
因为每个盒子非空，故将两个隔板插入4个空，每一种插法，对应一种分配方案，故有C24种方案。
评析：上述解法实际上是插入法的一种变形应用。在应用中，此方法仅适用于盒子非空的情形，也就是我们通常所描述的“每个盒子至少有一个球”若盒子允许为空，则此法无效。
（二）隔板法拓展
传统的隔板法适用于盒子非空的情形，若盒子允许为空，又该如何解题？我们再看上面的例子。
例2.将5个相同的球放入三个盒子，共有多少种不同的分配方案？
分析：此例与例1相比，不同的是此题允许盒子为空。
我们可以分两种情形来考虑：一种是两隔板相邻;另一种是两隔板不相邻。
1.隔板相邻时，先将5个球并成一排，
○ ○ ○ ○ ○
可考虑在四个空位及首尾两个位置共六个位置中选一个位置放入两个相邻的隔板，如“○ ○ | | ○ ○ ○” （其中 “|”表示隔板）表示“第一个盒子放两个球，第二个盒子放零个球，第三个盒子放三个球”，故隔板相邻时共有C16种方法;
2.隔板不相邻时，先将5个球并成一排，
○ ○ ○ ○ ○
可考虑六个位置中选两个位置放入两个隔板，如“| ○ ○ | ○ ○ ○”表示“第一个盒子放零个球，第二个盒子放两个球，第三个盒子放三个球”，故隔板不相邻时共有C26种方法。
综合1、2可知总的分配方案有C16+C26=C27=21种。
评析：此方法可推广到n个球的情形，具体结论如下：
结论一：n个相同的球放入三个盒子（允许盒子为空）的方法有C1n+1+C2n+1=C2n+2种。
（三）隔板法再拓展
结论一解决了n个相同的球放入三个盒子的问题，若盒子数目更多一些又该如何解题呢？我们还是以例子来说明。
例3.将5个相同的球放入四个盒子，共有多少种不同的分配方案？
分析：此例与例2相比，不同的是此题多了一个盒子。
我们先观察5个相同的球放进四个盒子的一种分法：
○ | ○ ○ | ○ | ○
上述分法表示：第一个盒子放一个球，第二个盒子放两个球，第三、第四个盒子各放一个球。
类似的，“| | | ○ ○ ○ ○ ○”表示5个球都放进第四个盒子;“○ | | ○ ○ ○ ○ |” 表示第一个盒子放一个球，第二个盒子放零个球，第三个盒子放四个球，第四个盒子放零个球……
由此，这个问题可化为下列问题：“在8个位置中选取三个放隔板的方法有多少种？”易知，方法共有C38=56种。即5个相同的球放入四个盒子，共有C38=56种不同的分配方案。
评析：此题的解决过程，思考方法与结论有着很大的不同。此法实际上是：先将3个隔板看成是球，与原有的5个球并成一排，再在8个球中任取三个变为隔板即可，而每一种变法就对应一种分配方案。此方法也可进行推广，具体结论如下： 结论二：n个相同的球放入m个盒子（允许盒子为空）的方法有Cm-1 n+m-1种。
易知，结论一是结论二的一种特殊情况。
下面两个例题分别用传统隔板法和拓展隔板法，我们来注意一下解题思路的区别。
例4.求方程 x+y+z=6的正整数解的个数。
分析：这是一个传统隔板法的问题，将6个“1”排成一排，“1”与“1”之间形成5个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成左、中、右三部分的“1”个数分别为x、y、z之值。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为： C25=10（个）。
例5.求方程 x+y+z=6的自然数解的个数。
分析：这是一个拓展隔板法的问题，此问题与例题4的主要区别在于，这里的x、y、z允许其中一个为零或两个为零。我们将8个“1”排成一排，将两个隔板去替换其中的两个“1”，由隔板分成的左、中、右三部分“1”的个数分别为x、y、z值。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，
下面说明一下当取值为零的时候舉两个情况，其中 | 1 1 | 1 1 1 1，表示x=0，y=2，z=4，
其中 | | 1 1 1 1 1 1，表示x=0，y=0，z=6。
由结论一，易求得，自然数解的个数为：C28=28（个）。
二、“隔板法”的应用举例
例6.已知A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}，由集合A到集合B的映射f满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）。问这样的映射有几个？
分析一：我们先按照一般分类列举的思路解一下这道题。
当f（5）=6时，只有1种;当f（5）=7，f（4）f（3）f（2）f（1）依次可对应为7777、7776、7766、7666、6666这5种;当f（5）=8时，若只有8和7，同上有5种，只有8和6时，也有5种，但是这种情况重复了一个88888，所以有9种;若8，7，6都有时，f（4）f（3）f（2）f（1）依次可对应为8876、8776、8766、7776、7766、7666这6种。因此符合条件的映射共有1+5+9+6=21（个）。
分析二：我们再按照拓展隔板法解一下此题。
联想排列组合知识，可把集合A中的元素看成5个相同的球，集合B中的元素看成3个盒子，则上述问题可化为下面的问题：“5个相同的球放进3个盒子有多少种方法？”
由结论一，易求得，方法有C27=21种。
即满足条件的映射f有C27=21个。
注：此题中f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），因为有序，所以看成5个球后应是相同的，这是一个辩证的观点，在解题中应充分注意这一点。
例7.若a、b∈N，且a+b≤6，试问直角坐标系中满足条件所对应的点（a，b）有多少个。
分析：因为a、b∈N，所以可以把a、b看成若干个数字“1”相加后的整体。又由于a+b≤6，故a、b合在一起总共不能超过6个“1”。我们先将6个“1”排成一列
1 1 1 1 1 1
再仿照结论二的方法，放入两块隔板即可。如“1 1 1 1 | | 1 1”表示“a=4，b=0”，即对应点（4，0），因为后面两个“1”被丢弃，所以当然有a+b=4≤6，类似地“1 1 | 1 1 1 | 1”表示“a=2，b=3”，“| 1 1 | 1 1 1 1”表示“a=0，b=2”…
所以，由结论二易知满足条件的点一共有C28=28个。
注：此题中看似只有a、b两个未知数，但在具体确定它们值的时候，我们用了两个隔板，取前两个分别赋予a、b，而第三个被舍弃，从而保证a+b≤6。这个思考方法要给予特别注意。
三、“隔板法”的适用范围
经过前面的介绍，可以看到新的隔板法在两个方面拓展了传统的隔板法应用范围，其一是允许盒子为空，其二是盒子数目不限。
但在使用拓展隔板法时，必须注意下面两个问题：（1）球必须相同，若球不同，则不能采用隔板法;（2）使用隔板法求出的每一种情形并不是等可能性的，所以，在有关古典概率的问题中，不能采用隔板法。
总之，排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对相同元素有序分组问题， 采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解。笔者在多年的教学过程中总结了很多经验，对以往常用的隔板法的作出深入研究，旨在对传统思考模式进行转变，让隔板法的应用范围，帮助学生更好地解决排列组合问题，达到提升数学成绩的目的。
参考文献：
[1]徐勇.浅析隔板法的应用[J].数学通讯，2010（Z3）：65.
[2]刘开胜.巧用隔板法解决分组问题[J].新课程（中学版），2009（5）：73.
[3]许瑞平.用“隔板法”解决相同元素分组问题[J].数学教学通讯，2010（3）：52.
[4]王保成，王江东.浅谈隔板法的应用[J].中学数学杂志，2004（9）：37-39.
[5]张红兵.隔板法在排列组合中的应用技巧[J].中学生数理化（高考数学），2004（12）：13-14.
编辑 李 静
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-15013782.htm
