等体积转化思想在小学数学教学中的有效渗透
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作者:刘小会
摘 要：等体积转化思想是指当一类物体体积无法直接计算时，可以通过一种或多种其他媒介转化为另一类可计算体积的物体，然后利用数学中的等价转化思想求得原物体的体积。小学阶段中，等体积转化思想首次出现在“有趣的测量”一课，后续思想的渗透包括圆柱和圆锥体积的推导和应用。文章以“有趣的测量”一课为例，探讨教学过程中教师应如何有效地渗透等体积转化思想，用发展的眼光教数学。
关键词：等体积转化;小学数学;规则物体;不规则物体
作者简介：刘小会，广东省深圳市龙华区外国语学校教师，研究方向为小学数学教学。（广东 深圳 518109）
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2019）23-0045-02
一个教师写一辈子教案不一定成为名师，但一个教师写三年教学反思可能成为名师。在日常教育教学实践中，记录教学心得，会帮助一线教师解决不少教学困境。此外，有时偶然的教学困境也会激发出独特的教育教学策略。本文以“有趣的测量”一课为切入点，探讨教师应如何在教学中有效地渗透等体积转化的数学思想，提升学生对数学理性的认识和兴趣。
一、研读教材，将已知转化为未知
“有趣的测量”是“北师大版”数学五年级下册的内容，本课的重点是研究不规则物体体积的计算方法。教材只呈现了实验设计和操作，教师需要引导学生利用已有的知识和方法解决如何求得不规则物体的体积这个问题。而如何测量不规则物体的体积，采取的主要方法是引导学生通过实践活动，把不规则物体放入水中，观察水面的变化，并且找到其中的等量关系。显性来说，这就是数学思想方法中的“等体积转化”;隐性来说，这是将未知转化为已知，利用学生已有的知识储备来探究和发现未知的知识。学生如果掌握这类转化思想，不仅可以解决课本上提出的问题，而且还能活学活用，解决类似的生活问题。日常生活中的不规则物体随处可见，如红薯、土豆等。利用已知的数学知识掌握不规则物体体积的测量方法，具有很强的实际意义和应用价值。
“有趣的测量”一课的重点是让学生理解长方形水槽中上升的水的体积等于放入水中的物体的体积，让学生体验“转化、等量代换”的数学思想。课前，笔者提前准备好两块大小相近的红薯和土豆，引导学生提出猜想，应该如何求得这两块不规则物体的体积？学生思考了很久，首先提出问题：目前我们的知识储备是无法求得这两个不规则物体的体积的，那么我们是否可以先把这两个不规则物体转化为规则物体呢？然后提出猜想：我们已经学习了长方体体积的计算方法，是否可以把这两个不规则物体转化为长方体，然后利用等量代换的方法求出不规则物体的体积呢？笔者先肯定了学生提出的猜想，并且和学生讨论，如果我们把土豆放入了长方体水槽，水槽中的水会有什么变化？通过实验观察和交流讨论，学生发现水槽中的水上升了，并且用刻度记下了水上升的高度。笔者向学生提问：上升的水和放入的土豆有什么关系呢？大部分学生回答：上升的水的体积等于土豆的体积。笔者对学生的这一发现进行表扬，又继续追问，上升水的体积等于多少呢？于是学生开始讨论和设计计算方案，而笔者对学生的设计方案和讨论结果都给予肯定的评价。在这一过程中，学生不仅灵活地完成了教材上要求的两种实验，而且在实验观察和讨论的过程中深刻地领悟到不规则物体的体积转化成了上升的水的体积。
二、逐步渗透，构建逆向思维
课堂的拓展练习中，笔者还和学生一起讨论这类问题的逆问题，拓展他们的思维，达到举一反三的目的。“在一个从里面量长15分米，宽10分米的长方体水槽中，有10分米深的水，如果在水中完全浸入一个棱长为3分米的正方体铁块，那么水槽中的水深为多少分米？”这道题考查等体积思想的逆向运用，需要让学生理解“正方体的体积=上升的水的体积=水槽底面积×水面上升的高度”这个连环等式。难理解的点在于“正方体的体积=水槽底面积×水面上升的高度”，学生一旦理解了这个公式，即可以求出水面上升的高度。
通过引导，学生在观察中发现不规则物体的体积必须要转化成规则物体的体积，水可以充当这一转化过程中的媒介，解决问题的关键是怎样在水中呈现不规则物体的体积。此外，笔者在课堂上还介绍了测量不规则物体体积的另一种方法——“排水法”。结合生活的实际可知：将红薯放入盛满水的容器里，溢出的水的体积就是红薯的体积。
三、类比学习，把知识“串”起来
小学阶段，等体积转化思想首次出现在“有趣的测量”这一课例，后续思想的渗透包括圆柱和圆锥体积的推导和应用。“圆柱的体积”这一课例中渗透的数学思想较多，包括类比学习和等体积转化。教师不仅需要引导学生在经历“类比—猜想—验证—说明”的探索过程中掌握圆柱体积推导公式和计算方法，而且要让学生领悟到直柱体体积的一般计算方法。小学阶段，学生接触的主要立体图形只有圆柱和长方体，它们都属于直柱体，长方体的体积公式是底面积乘以高，教师可以引导学生类比猜想圆柱的体积也可以用底面积乘以高来计算。重点就是让学生把之前学过的等体积转化信息串联起来，把圆柱、三棱柱等立体图形和长方体进行有意识的联系，最终利用“切割、拼凑”等方法把圆柱转化为长方体。虽然形状变了，但是物体所占空间的大小没有改变，这便是等体积转化思想的精髓。
教师应该在学生已有的学习经验基础上，让他们学会类比。数学学习过程是一个从简单到烦琐，从少到多，由浅到深的转化过程，因此，作为学生学习的组织者和引导者，教师不仅要让学生主动参与，从自身知识基础与经验出发，把新知转化成旧知，建立新旧知识的内在联系，促进新知识结构的建立，而且要培养学生的类比意识，把知识“串”起来，融会贯通。
四、拓展实践，以发展的眼光教数学
等体积变形的题目大致分为两类：一类是一种物体（如圆柱）熔铸成另一种形体（如圆锥）;另一类是已知两个物体的体积相等，又知道另一个物体的底面积（或底面半径、直径、周长）和高，求另一个物体的高或者底面积。例如，把一个长宽高的比是4∶3∶3的长方体削成一个体积最大的圆柱体，削去的体积是243立方分米，削成的圆柱体体积是多少立方分米？这道题不仅要求学生利用常识在长方体中找到一个最大的圆柱体，而且要求学生发现和挖掘等量关系，进而列式求解。在生活中，教师可以鼓励学生利用实物动手操作，在实践中拓展学习。
等体积转化思想的获取是靠学生“悟”出来的，而不是靠教师教出来的;是从量的积累，达到质的飞跃。因此，在课堂教学中教师要注重渗透，让学生逐渐感悟。在课堂上，教师要真正放手让学生独立思考、动手探究，把话语权真正还给学生。教师应该用发展的眼光看待小学数学教学，引导学生，加强练习，做有知识的人;联系生活，做有生活的人;互相帮助，做有品格的人。教师也需要在教学中向学生逐步滲透更多的数学思想，使他们的思维得到开拓和发散，促进其全面发展。
参考文献：
[1] 崔士钦.小学生等积变形思想的形成与发展[J].普教研究，1995，（2）.
[2] 王丽娟.浅谈小学数学教学思想方法的渗透——《圆柱的体积》教学[J].新课程（小学），2013，（10）.
责任编辑 袁静琴
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