数学归纳法在中学数学中的应用
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作者: 张先达
摘要：文章详尽阐述了数学归纳法在高中数学中的一些相关应用，通过对它基本形式的学习和理解，对数学归纳法在解决和正整数相关的类型题中的作用做出肯定。对与正整数有关的恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等，用相应的实例进行解析说明在各类型中数学归纳法的具体应用。在很多时候学生的错误就是在于不能真正理解数学归纳法和存在的一些数学归纳法应用的思维定势。我们应该去除学生在学习归纳法时的这些弊端，充分了解它的好处和局限，更好的去应用它来帮助我们解决相应的问题。
关键词：归纳法；应用数学；教学
中图分类号：FG633.6 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－２９１Ｘ（２０11）14－０304－02
数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。因此，它不仅是高考数学的一个考点，也是一个难点。在看似简单易懂，形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其实质。有些同学仅仅只是生硬的记忆和牵强的套用，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。我们应该怎样理解数学归纳法，在高中数学中又有哪些方面的应用？在哪些类型题上使用可以更加方便？数学归纳法又有哪些局限性？我们应该怎样具体问题具体分析，更好的学习和利用数学归纳法呢？
在本文中通过对数学归纳法基本形式理解的基础上，进一步论述了在解决很多和自然数函数有关的整式、不等式、整除和几何等问题时数学归纳法的应用。当然数学归纳法，在很多时候也会使解题变的复杂繁琐，因此我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。
数学归纳法的基本形式：
（1）验证当n取第一个值时，命题正确：
（2）假设n＝k时命题正确，证明n＝k+1时命题也正确：
（3）根据（1） （2）断定命题对于全体自然数都正确。
例1： 证明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）
证明：（1）当n＝1时，左边＝1＝右边，等式显然成立。
（2）假设n＝k时等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2
那么，当n＝k+1时，有
（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]
＝（2k-1）2+8k＝（2k+1）2＝[2（k+1）-1]2
即当n＝k+1时，等式也成立。故对于任意正整数n等式都成立。
通过数学归纳法基本形式和例题可以看出其原理就是递推思想，其中（1）是递推的基础，没有它归纳假设就失去了依据，后面递推就没有了奠基。（2）是递推的依据是数学归纳法证明最根本的一步，是整个数学归纳法证明的核心，只有通过它无限次递推成为可能，人们的认识才达到了质的飞越――通过有限认识无限，所以数学归纳法的两个步骤缺一不可。
数学归纳证题的两个步骤虽然都很重要，但在证题时第一步较易，第二步较难。学生往往感到很困难，绞尽脑汁都难以完成这一步，到底我们应该怎样转化，不同的问题我们又应该怎样去解决？下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中的应用。
一、应用数学归纳法证明恒等式
应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可。
例1：用数学归纳法证明： n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）
证明：（1）当n＝1时，左边＝1＝（2×1-1）2＝右边，等式成立。
（2）假设n＝k时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2
那么，当n＝k+1时有
（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]+8k
＝（2k-1）2+8k
＝4k2+4k+1
＝（2k+1）2
＝[2（k+1）-1]2
即当n＝k+1时，等式也成立，故对于任意正整数n，等式都成立。
二、应用数学归纳法证明不等式
应用数学归纳法证明不等式，分为严格不等式和非严格不等式两种，严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“＞”或“＜”成立即可。对于非严格不等式而言，情况略显复杂。
例2：已知x1，x2，x3，…，xn都是正数，试证：
+++…≥x1，x2，x3…，xn
证明：（1）当n＝1时，因为＝x1，所以原不等式成立（取等号）
（2）假设当n＝k时原不等式成立，即
+++…≥x1，x2，x3…，xk
那么，当n＝k+1时，不等式的左边
+++…+＝（+++…）-++≥x1+x2+x3+…+xk++（*）
显然，只要证明
+≥xk-1
原不等式即可得证。但此式难以直接证明，经仔细观察发现，原不等式关于变量x1，x2，x3…，xn是轮换对称的，于是不妨设xk-1＝max｛x1，x2，x3，…，xk，xk-1｝，则xk-12-xk2＞0。
+≥+＝＝xk-1
故当n＝k+1时，不等式也成立。即原不等式对于所有自然数都成立。
三、应用数学归纳法证明整除问题
应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用之一。这类问题涉及到整除性的知识，如果a能被c整除，那么a的倍数ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它们的和或差a±b也能被c整除，从整数的基本入手，通过添项去项进行”配凑“，使之能够获证。
例3：证明f（n）＝5n+2•3n+1能被8整除。
证明：（1）当n＝1时，f（n）＝5n+2•3n+1＝8显然能被8整除，命题成立。
（2）假设当n＝k时，原命题成立，即f（k）＝5k-1+2•3k+1能被8整除，那么，当n＝k+1时，f（k+1）＝5k-1+2•3k+1
＝5•5k+6•3k+1+4•3k-1-4•3k-1
＝5•5k+10•3k-1+5-4•3k-1-4
＝5•f（k）-4（3k-1+1）
这里第一项由归纳假设能被8整除，第二项中3k-1是奇数，则3k-1+1是偶数。故第二4（3k-1+1）能被8整除，由整除性质可知，它们的差也能被8整除，这就是说：当n＝k+1时命题也成立。即原命题对所有自然数n都成立。
四、应用数学归纳法证明几何问题
应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用。数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。有很多与正整数有关的几何问题，可以用数学归纳法证明，但在证明之前要找出规律，获得公式，而后才能应用数学归纳法证明结论。
例4：证明凸n边形的对角线的条数f（n）＝n（n-3）.（n≥3）
证明：（1）当n＝3时，f（3）＝0，因三角形没有对角线，所以原命题成立。
（2）假设：当n＝k（n≥3）时命题成立，即凸k边形的对角线条数为f（k）＝k（k-3）。那么当n＝k+1，凸k边形的k个顶点增加一个顶点Ak-1成为凸k+1边形时，由顶点Ak-1与它不相邻的另外k－2个顶点A2，A3，A4，…，Ak－1可画出k－2条对角线，同时原来凸k边形的一条边A1Ak变成一条对角线。这样从凸k边形到凸k+1边形一共增加了k-1条对角线。由此凸 边形的对角线条数为：
f（k+1）＝f（k）+（k+1）
＝k（k-3）+（k-1）
＝（k2-k-2）
＝（k+1）（k-2）
＝（k+1）[（k+1）-3]
这就是说，当n＝k+1时，命题也成立。
需要指出，虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关的命题的重要方法，但并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n＝k到n＝k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定势，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。
例5：n∈N*，求证1+++…+＜2。
证：令bn＝2，则bn＝b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
当n≥2时，bn-bn-1＝2（-）＝＞＝，从而1+++…+＜b1+（b2-b1）+…+（bn-bn-1）＝bn＝2
即1+++…+＜2。
通过以上例题，只是想说明对于有关自然数的命题的证明，不一定都采用数学归纳法这一种方法而应该针对题目本身的特点，选择适当的方法达到简化证明过程的目的。从另一个角度来讲也能克服学习中的思维定势，使知识融会贯通，灵活运用。
以上我们对数学归纳法的基本形式，及在中学数学中和自然数函数有关的整式、不等式、整除问题和几何问题等，一些常见题型中的应用做了简单的举例，并通过相应的例题对这几种方法进行了解析，使学生对数学归纳法有了更进一步的了解。纵观科学技术迅猛发展的当今时代，我们对数学归纳法的研究已经取得了很大的进步，对于它的更加优越的性质和更广泛的应用仍需要我们继续努力钻研。深入探讨数学归纳法的相关性质，究竟何时使用归纳法何时不使用，中学数学归纳法还有哪些应用，还有待同学仔细研究和探索。
参考文献：
[1] 刘世泽.数学归纳法的另外两种形式[J].数学通报，1994，（1）.
[2] 杨玉声.归纳法与数学归纳法及其应用[J].中学理科，1999，（Z2）.
[3] 朱华伟，史亮.高中数学新课程标准中的归纳法[J].数学通讯，2005，（13）.
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