例谈化归思想在解题中的应用
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作者: 蒋 宇
[摘要]通过化归思想在解题中的几个应用,说明数学思想方法在数学解题中的意义和重要性。
[关键词]化归思想 数学思想方法
“问题是数学的心脏。”数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分,而几乎所有的问题的解决都离不开数学思想方法。数学思想方法是数学思想和数学方法的统称。所谓的数学思想是数学中的理性认识,是数学知识的本质,是数学中高度抽象概括的内容,它蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程中。它是从教学内容中抽象和概括出来的,是数学知识的精髓,是知识转化为能力的桥梁。所谓的数学方法是提出分析、处理和解决问题的概括性策略,是为数学活动提供思路、逻辑手段和操作原则。在中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下,运用数学方法,通过一系列数学技能操作来完成的。而数学方法则是数学的内在形式,是学生获取数学知识、发展数学能力的动力工具。数学思想方法种类很多,包括化归思想、函数思想、分类思想、数形结合思想等等,它们在数学解题中都有着很大的作用。
将未知解法或难以解决的问题,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归思想。化归思想的实质是揭示联系,实现转化。除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化、复杂问题向简单问题转化、新知识向旧知识的转化、命题之间的转化、数与形的转化、空间向平面的转化、多元向一元转化、高维向低维转化、高次向低次转化、函数与方程的转化等,都是化归思想的体现。下面以化归思想在解题中的几个应用为例,说明数学思想方法在解题中的重要性。
一、将陌生问题转化成熟悉问题
矛盾转化是数学思想方法中最为常见有效的一种方法。其核心是转化,“以退求进”。通常使用从陌生退到熟悉:从整体退到局部:从未知退到己知:从复杂退到简单的手段使问题得以解决。
二、抽象与具体的转化
由于中学生的形象思维比较成熟,而抽象思维能力比较差,因此解题时,对于抽象问题的思考往往比较困难。如果我们能把一些抽象问题转化为具体的问题考虑,那么问题就容易解决得多了。
思考与分析:该问题比较抽象复杂,不好下手。我们设法把抽象复杂退到具体简单,从整体退到局部,足够地退到最容易看清楚问题的地方,从而达到认透钻深的目的,然后再回到抽象复杂的数学问题当中。
对一些比较抽象的问题,如果能把它具体化,就能看出解题途径;而对于一些具体的问题,有时不容易找到它的解题思路,此时如果能把它抽象化,可能会使问题迎刃而解。
三、把隐含条件转化为已知条件
一般来说,解一道题必须充分利用题设条件,但有些题目给出的条件往往不能直接为解题服务;而能使解题流畅、简捷的有效条件,却隐含在题设条件中所涉及的定义、性质、定理、图形或条件直接导出的某些新结论之中.解题中,若能深入地进行发掘隐含条件,使隐含条件转化为已知条件,则有利于提高解题的准确性,敏捷性和灵活性。
上述思路虽然正确,但花费时间太长,不符合选择题必须迅速求解的原则,究其原因是思维不灵活,未能把本题的隐含条件转化为已知条件使用。
转化引导:∵1-cosθ>0,sinθ>0,∴已知复数在复平面内的对应点位于第一象限,利用这一隐含条件,可将本题转化为判别所给的四个选择支,哪个角属于第一象限,显然(A)、(C)、(D)均不在第一象限,故选(B).
四、把繁杂转化为简单
有些数学问题结构复杂,直接求解过程繁琐,如果我们善于对问题的形式特征进行观察、转化,用灵活的方法求解,那么往往能使复杂的问题简单化。
五、特殊与一般的转化
一般与特殊是事物的两个方面,是辨证统一的,当一般性的问题难以解决,可以考虑用特殊性来解决;当特殊性的问题难以解决时,可以考虑用一般性来解决.
六、数形转化
华罗庚教授说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微。”数与形是客观事物的不可分离的两个数学表象,它们各自有自己特定的含义,但它们之间又相互渗透,相辅相成,在一定条件下可以相互转化。解题时,将欲解(证)的问题转化为与之等价的图形问题,不仅可以使问题简捷获解,而且还能给我们提供有效的几何直观,加深对问题实质的理解。
思考与分析:这是一道较复杂的无理函数最值问题.用纯代数法求解难以完成,应设法将问题变换转化。观察解析式的特点,注意两根号中可统一成平方和的形式,从而联想到的两点间的距离公式,解此题的关键是如何将代数问题转化为几何思想.
以上具体从化归思想在解题中的几个应用说明了数学思想方法在解题中的重要性,当然,其他数学思想方法在解题中也起着很重要的作用。例如分类讨论的思想,它已渗透到中学数学的各个方面,如概念的定义、定理的证明、法则的推导等,也渗透到问题的具体解决之中,如含有绝对值符号的代数式的处理、根式的简化、图形的讨论等,又如数形结合的思想,它已贯穿于全部中学数学之中,数轴、计算法证几何题、三角法、复数法、向量法、解析法、图解法等等都是这一思想的具体运用。正因为数学思想方法在解题中有如此重要的作用,所以教师在教学中应不失时机地引导学生认真思考,努力挖掘问题中的规律性,不仅可以提高解题的速度,而且能克服解题的盲目性、片面性。
参考文献:
[1]王传荣,张云晓.不等式的证明及应用.天津科学技术出版社, 1983.4.
[2]谭光宙,丁家泰,徐玉明,朱志诚,张士清.中学数学解题方法.北京师范大学出版社, 1989.3.
[3]吴昊.“对应思想”在中学数学中的体现.华南师大数学系,中学数学研究,2004.6.
[4]顾立佳.例说初中数学解题的转化策略.中学数学教学参考, 1997.8.
[5]石志群.谈数学思想方法的教学.中学数学, 1996.3.
[6]邱德英.关于数学思想方法几个问题的探讨.中学数学 1996.8.
[7]肖荣华.“转化思想”应用举隅.中学数学 1997.11.
[8]叶立军,卢诚波.数学思想方法在数学解题中的几个应用及其教学对策.丽水师范专科学校学报,2004.2.
[9]刘凯华.数学思想方法与高师学生数学素质的提高.数学教育报, 1998.3.
[10]戴再平.数学习题理论.上海教育出版社,2000.
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