利用数学建模思想与形象化教学提高“高等数学”教学质量研究
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作者:魏金金
摘 要：“高等数学”是大学理工科专业的重要基础课程，目前，“高等数学”教学中存在着一些问题，影响了“高等数学”的教学质量。文章在教学中作了一些尝试，将数学建模思想融入教学中以提高“高等数学”的实践性，注重“高等数学”理论内容的形象化教学使其更直观，教学中注意站在学生角度分析“高等数学”难点，这3种教学尝试较好地激发了学生对“高等数学”的学习兴趣，提高了“高等数学”的教学质量。
关键词：高等数学教学;数学建模思想;形象化教学
“高等数学”是大学理工科和经济类等非数学专业的重要基础课，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。在“高等数学”的教学工作中，笔者发现存在以下问题：（1）学生的学习兴趣不足。部分教师只注重讲解“高等数学”的推导技巧，而不注重理论讲解、逻辑推理以及“高等数学”在其他学科中的应用，因而课程枯燥，无法激发学生的学习兴趣。（2）基础知识理解不够深刻，学生的逻辑思维能力训练不够。原因是教学内容多且课时相对较少，为保证教学进度，教师只能简要介绍基础知识定义和基本定理，较少讲解定理证明，无法给学生留出独立思考的时间，逻辑思维的训练不够。针对以上问题，笔者在“高等数学”教学中做了以下尝试：（1）在“高等数学”教学中融入建模思想，让学生经历从实际问题到理论知识再到应用知识解决问题的过程，提高他们学习“高等数学”的兴趣。（2）在教学中增加理论内容的形象化展示，通过数形结合帮助他们加深对“高等数学”的理解。（3）从学生看待“高等数学”的角度开展课堂教学，循序渐进地讲解“高等数学”的相关内容，更有利于知识点的理解。
1 融入数学建模思想
1.1 数学建模思想简介
数学建模就是从实际问题出发，通过对问题的分析、抽象和简化，明确实际问题中最重要的变量和参数，通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分折和解决问题，这个过程被多次执行和完善[1]。
数学建模是从实际背景问题出发到最后得出解决方案的过程，是从寻找单一相关知识方法到综合应用知识方法的过程。这一过程能培养学生学习数学模型的兴趣，鼓励他们寻求解决问题的方法[2]。在“高等数学”教学中融入建模思想，有助于学生学好和学会“高等数学”。
1.2 高等数学教学中融入建模思想
将数学建模思想融入“高等数学”教学需要做到以下两个方面：（1）寻找与教学相关的实际问题，将这些问题作为教学切入点，吸引学生关注这些问题。（2）利用数学建模的思想和方法引导学生进行探究和思考，让学生充分参与教学过程，加深对所学知识的理解。例如定积分定义的教学过程融入建模思想后，教学内容变得通俗易懂，其步骤如下：首先，让学生回答矩形面积的计算公式和几何特点。其次，引入曲边梯形的概念，引导学生分析曲边梯形的几何特点，探讨其面积计算公式。再次，介绍无限分割、近似替代及无限求和的定积分思想。从次，引导学生通过学习贯穿于“高等数学”的极限思想，进一步加深对极限的理解。最后，引入定积分的定义，引导学生讨论、分析和理解定积分定义。
近两年的教学实践表明：（1）融入数学建模思想以后，“高等数学”的教学质量有了明显提高，学生的学习积极性有了显著提升。（2）提高了学生学习的主动性，课后学生积极找老师交流讨论。（3）学生做作业的正确率比两年前提高了约10%。
2 组织“高等数学”学习小组
在“高等数学”教学中，笔者借鉴学生参加数学建模竞赛的方法，组织学生成立“高等数学”学习小组，每个学习小组由4～6名学生组成。“高等数学”内容多且课时有限，课堂上不能保证所有学生透彻掌握内容，而“高等数学”逻辑性强，前期知识为后期知识打下了基础。因此，每次课后，笔者会针对课堂内容设置问题，让学习小组成员在课下进行讨论解决，上课前随机抽小组回答，检验小组学习效果。若题目解答流畅，则进行下一阶段的讲解，若问题较多，则进行针对性的复习和讲解，然后进行下一阶段的课堂教学。为了保证学生的参与度，设置了奖励机制，将其作为平时成绩的组成部分。
采用这种设置了奖励机制和随机发言的学习小组方式，促进了学生对所学知识点的思考和理解，增强了学生对内容掌握的透彻程度，同时，也促进了学生的合作精神，使其能够共同探讨并解决遇到的数学问题。把小组无法解决的问题再反馈给老师，不仅使老师对课堂教学效果更了解，也有利于学生针对性地弥补不足。这种方式对课堂教学起了较好的帮助作用，促进了教学质量的提高。
3 应用形象化教学方法于“高等数学”教学
形象化教学法是一种利用动态或静态的表现形式来表达抽象教学内容的方法[3]。形象化教学法在“高等数学”教学过程中的应用就是要引导学生从具体形象的教学材料、图形、案例等内容中，更直观地理解和把握抽象的数学概念和理论内涵。“高等数学”教学中运用形象化教学，可以更好地帮助学生理解“高等数学”的知识，加深对知识的记忆。此外，形象化教学可以促进学生进行更直观地思考与联系，培养学生借助形象思维与抽象思维相结合的方式理解数学知识，提高数学素养。
实现“高等数学”形象化教学，就是要将“高等数学”中抽象的概念或者定理做形象化的处理。一种方式是借助静态或动态的图形展示出来，图形的实现可利用几何画板、Matlab，Mathematica，Maple，PPT等方式，借助图形进行形象化展示，帮助学生从“形象看数学”到“抽象思数学”。以定积分的计算问题为例，在求曲边梯形的面积[4]教学时，如由直线及函数所围成的图形，分析窄矩形面积之和对曲边面积近似，利用图形工具分别绘制3个图形，窄矩形的宽度依次选取了0.1，0.05，0.02。借助直观的图形先帮助学生形象地认知窄矩形面积之和对曲边面积近似的效果越来越好，然后再引导学生思考以直代曲，无限近似的数学思想。
4 以学生为本进行“高等数学”教学
“高等数学”课本对应的教学大纲会论及每个章节的重点与难点，在平时教学中，需要注意这些重难点的教学。此外，也需要去发现、总结实际课堂上学生遇到的疑难点，有侧重性地注意对这些疑难点的讲授。这种做法对“高等数学”的教学效果与质量有积极影响。数列极限的定义：设为一数列{xn}（n=1，2，…，），如果存在常数x，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|x-xn|<ε都成立，那么就称常数x是数列的极限，或者称数列收敛于x。这里的数列极限定义及其精确，并使用了ε-N语言。
从学生角度講授数列极限定义，笔者按照如下4步进行讲授。第一步：回顾数列极限的通俗定义;无限大，无限接近于∞。第二步：引入极限的精确定义;精确定义是从通俗定义改进过来的，注意让学生理解以下要点：（1）用距离无限变小来描述无限接近于0。（2）如何来描述无限变小，无限变小可反映为与很小的数比较，很小的数用ε来表示。（3）通过解关于n的不等式|x-xn|<ε，寻找N这样的讲授，可以较好地解决学生理解上存在的疑难点：①符号的意义。②数列极限里的取值及与数列的关系。对这些难点进行针对性的讲解有助于学生更充分地理解数列极限的精确定义及其应用[5]。
5 结语
融入数学建模思想的教学丰富了“高等数学”教学，形象化教学提高了抽象的“高等数学”讲授效果，将这些教学尝试应用于“高等数学”教学，同时，还需更多的教学实践来提高教学质量。
[参考文献]
[1]周后卿，周琪.数学建模与大学数学教学改革探索[J].中国电力教育，2014（6）：110-113.
[2]李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教学，2002（10）：41-43.
[3]占飞，姜翠萍.高等数学形象化教学方法探析[J].科技展望，2016（11）：225.
[4]同济大学应用数学系.高等数学[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.
[5]徐丽君，廖永志.多元函数几个概念的关系的研究[J].西昌学院学报（自然科学版），2016（1）：23-25，29.
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