应用数学拔尖人才培养模式的探索与实践
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作者:杨志坚 胡新启
摘 要 本文通过对“数值分析”课程教学模式的探索，给应用数学其它专业课的设计方面提供了可借鉴的素材，为如何培养应用数学拔尖人才提供了重要的研究思路。
关键词 应用数学 人才培养 数值分析
中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2020.02.024
Exploration and Practice of Training Model of Top Talents
in Applied Mathematics
YANG Zhijian， HU Xinqi
（School of Mathematics and Statistics， Wuhan University， Wuhan， Hubei 430072）
Abstract By exploring the teaching mode of "numerical analysis"， this paper provides reference materials for the design of other specialized courses of applied mathematics， and provides important research ideas for how to cultivate top talents of applied mathematics.
Keywords Applied Mathematics; cultivation of talents; numerical analysis
應用数学作为联系数学理论和实际应用的纽带在大数据信息时代变得越来越重要，如何培养应用数学拔尖人才成为目前极为重要和紧迫的问题，具有重大的社会意义和应用价值。
由于应用数学专业对数学的理论和实际应用问题都需要有深入的认识，导致了应用数学专业拔尖人才的培养不同于基础数学和其他自然科学，有其自身的专业特点。国内的高校由于拔尖人才的培养起步较晚，并没有特别区分应用数学拔尖人才和基础数学拔尖人才的培养模式，导致应用数学拔尖人才培养在国内高校存在一些不足和误区。境外许多高校在这一方面特别是在本科生专业课教学方法上有许多相对成熟的经验，但是由于中外学生的教育背景不同，中外高校师资存在差异等原因，这些相对成熟的经验并不能原封不动地搬入国内的高校，需要具体分析中外高校教育环境与教育背景的不同，给出国办高校应用数学拔尖人才培养的具体策略和教学方法。
本文以“数值分析”这门应用数学的专业必修课为切入点，探讨了应用数学专业拔尖人才的培养模式，通过研究国内外高校的教育模式与部分国外高校在该专业课上的教学方法和培养模式的区别，同时结合武汉大学弘毅学堂数学班的具体情况，设计出“数值分析”课程教学模式，并期望对如何培养应用数学拔尖人才提供新的思路。
1 “数值分析”课程教学特点及教学现状分析
“数值分析”是数学的一个分支，它是应用数学的一门专业必修课，主要研究用计算机编程来求解科学与工程中的数学计算问题的数值近似解及其理论的学科，是计算数学的主体部分，简称数值计算方法。数值分析的目的是设计及分析一些计算的方式，针对一些问题得到近似但够精确的结果。该课程既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性等技术特征，它是一门理论性和实践性都很强的课程。该课程中所讲述的各种数值方法在科学与工程计算、信息科学、管理科学、生命科学等交叉学科中有着广泛的应用。
该课程的特点是：方法是近似的，但要有可靠的理论分析（包括收敛性和稳定性），要有较好的计算复杂性（包括时间复杂度和空间复杂度），并且要有数值实验，面对计算机编程，需要上机实习。应用该课程解决实际问题的通常步骤是：分析实际问题，建立数学模型、选择数值方法进行算法设计、编写程序、上机计算结果。
通过该课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法，并能对求解过程进行理论分析，以达到提高学生在算法设计和理论分析的能力的目的，从而进一步提高学生在独立思考、综合分析和解决问题的能力。本课程的主要内容包括：求解线性方程组的数值解法、计算矩阵特征值和特征向量、非线性方程和非线性方程组的迭代算法、插值与拟合、数值微积分、常微分方程和偏微分方程数值解等问题。
通常认为人类的计算能力是计算工具和计算方法效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要，科学计算已经成为继实验和理论研究之后的第三种研究方法，并广泛用于科学技术和社会生活的各种领域中。
（1）教学内容多，教学学时少。原来该课程讲授为90学时，现在减少为60甚至48学时。由于教学内容多，且其中许多理论及计算公式的推导极为繁琐，导致教师必须对部分内容有所取舍，疲于赶进度，从而使得无法详细地讲解全部内容，且讲授的内容也不容易被学生接受，教学效果有待提高。长期以来，普遍感觉到该课程内容多、学生的负担重、教学枯燥乏味、学生的学习积极性不高等，这些都一直困扰着该课程的教学。
（2）授课内容过于数学化，理论知识与具体问题脱节。本课程是一门理论与实践并重的课程，而传统的教学模式侧重于计算方法理论的讲解，大部分的教学时间花在了计算公式的推导和理论的讲授上，非常注重理论的严谨性和完整性，淡化了实用性与实践性相结合的特征，忽视了该课程与计算机紧密结合的特点。相对整个教学过程，课堂教学时间所占比重较大。这也导致了大部分学生对基础理论的掌握与对实际应用的处理的严重脱节，使得相当比例的学生学完了全部课程后还是无法解决实际中碰到的问题。 （3）实践教学环节显著缺乏。同样由于学时减少的原因，无法安排时间充足的实践环节，从而使得学生对实验没有深刻的体会，也无法全面理解并运用课程中的算法。另一方面，一些教材为了满足数值计算应用中的不同需求和不同条件，将过多的注意力放在算法原理的精确描述上，特别是问题的解的存在性和算法的收敛性分析上，这也使得学生试图通过计算机算出某个结果从而获得某种满足感的愿望难以实现。
（4）教学手段和方法单一，板书与多媒体课件关系处理不当。虽然在本课程教学中可视化水平在逐渐提高，但是实际中在面对一些重要的数学概念及重要的结论时，还是难以比较直观地展示给学生，使得学生无法真正理解相关结论，只能被动地硬性记忆这些结论。另一方面，对部分学生来说，没有吃透算法，认为算法仅仅是一个流程图，由于缺乏对编程的具体体验，当面对具体的编程时，仍然感觉无从着手。总之在提高老师讲课时的图形显示水平方面还有很大的提升空间。
（5）考核方式不尽合理。传统的考试方法是闭卷考试，这不一定能够考出学生的真实水平。原因在于，部分学生可能通过考前突击复习顺利过关，甚至取得高分，这也导致部分学生不愿意花更多时间深入思考，并且闭卷考试也无法考核学生的动手能力，无法通过考核检查学生是否深刻地理解了相关知识点，也无法达到提高学生实际动手能力的目的。
2 “数值分析”改革的思考与探索
“数值分析”课程改革是一个系统工程，笔者在教学实践中侧重在教材改革、教学手段与方法等多方面作了一些探讨。
在教学过程中，我们进行了这些方面的改革，如：将更多内容以多媒体形式展现，如相关背景知识的讲解、数值计算方法的几何描述、实际算例的计算演示、误差效果的比对、动态展示一些应用实例等等，帮助学生增加感性认识。改革考核方式，除了传统的闭卷考试外，增加了上机考试与研究报告考核等。增加实验学时，让学生有更多机会动手解决实际问题，以达到提高学生的实际操作能力、实验动手能力和分析解决问题的能力的目的。
除了进行上述改革外，我们还特别在如下几个方面进行了一些探索：
（1）小班教学。将原来大班教学改为不超过30人的小班教学，更容易了解到每个学生的学习状况并给予及时的指导。
（2）双语教学。课程教材选择采用经典的英文教材并辅助以中文参考书，在课堂讲授方面采用中文讲授、英文板书的双语模式，一方面可以用中文更加清楚地介绍方法的由来和想法，另一方面培养学生阅读英文教材的能力。通过将经典理论讲精讲透，使学生既能感受到数学逻辑的严谨性、又能感受数学理论的系统性及并能在算法实现的创造性有所提升，以培养提高学生的数学素养。
（3）案例驱动。课程教学在介绍每一个算法时从实际出发，以例子为先导，采用先进实际案例，让学生先了解实际背景，并引导学生找到合适的方法，这种方式也有利于学生了解数学家们在解决实际问题时的一些原创思维。在每次讲授完成一个算法后还要求同学们能够自己进行上机实践并找出最有效的程序实现方法。通过这种方法，让学生领悟到计算科学来源于实际且应用于实际的内涵。
以下是一些可以用作案例的问题，如：数值天气预报、太空船的轨迹、模拟汽车撞击来提升汽车受到撞击时的安全性、对冲基金利用数值分析工具来计算股票的市值及其变异程度、航空公司决定票价、飞機、人员分配及用油量、保险公司进行精算分析等。
（4）分组讨论。将整个班级划分成若干小组，在授课老师和助教的带领下对于某些较为困难的内容或者开放性的实际问题进行分组讨论，将讨论的结果形成最终报告并制作PPT给其他同学进行展示，以培养学生利用所学知识初步开展科学研究工作，并对学生的综合能力（包括科研水平与创新能力、分析解决问题的能力、实际动手的能力、展示自我才艺的能力等）进行有效的锻炼。
通过上述多个方面的教学改革与探索，使得枯燥的理论知识可以很好地与实际结合，不仅激发了学生的学习兴趣，而且大大地提高了学生的学习效率，让学生可以更早地了解并参与到科学研究中去，极大地提高了学生多方面的能力。
3 结束语
国内许多高校对于应用数学专业课程设置具有重分析、轻数值的特点，对于定理极其证明比较关注而不太注重上机实践与方法的具体应用。国（境）内外著名高校在应用数学拔尖人才培养模式上虽然各不相同，但可以发现都有如下共同点：
（1）注重讲授算法的方法以及算法实现后所带来的新的困难;
（2）比较复杂的理论证明通常不在课程中给出，而是以作业或者项目的形式让有兴趣和能力的学生自己完成;
（3）授课的许多内容来自于各种应用问题，包括在科研中产生的具体问题，从而将所讲授的方法真正应用于一些实际问题。
应用数学不同于基础数学，在专业必修课的内容上不能一味强调理论的完整性，而应该辅助于大量的实际应用背景，做到案例驱动课程内容。通过这些理论和应用相结合的教学模式，让同学们在该专业必修课中不仅学到了数学理论，更能够了解数学方法如何应用于实际问题中，从而有助于培养应用数学的拔尖人才。
通过对“数值分析”课程教学模式的探索，给应用数学其它专业课的设计方面提供了可借鉴的素材，为如何培养应用数学拔尖人才提供了重要的研究思路。
本课题受教育部高教司2018年“基础学科拔尖人才培养计划”研究课题资助，课题编号为20180902
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