利用手机研究盐水中的趋肤效应

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　　摘 要：文章介绍了电磁波的趋肤效应、趋肤深度及趋肤效应产生的原因，为了研究趋肤效应，用手机浸入到盐溶液，达到临界深度后，发现向手机发出请求时无响应。通过多次实验得到趋肤效应临界深度，研究表明，在一定溶液浓度范围内，临界深度与理论趋肤深度成正比。文章创新性地使用手机和盐溶液来研究趋肤效应，从教学角度看，增强了趣味性;从学习的角度看，学生们通过参与该项目大幅提升了他们的学习兴趣和研究动力。特别是以手机作为实验项目的核心，不仅激发了他们的想象力，更使他们对项目保持着持续的热情，并对电磁波的电性性质有了更深入的了解。
　　关键词：手机;大学物理实验;电磁波;趋肤效应;盐溶液;临界深度
　　中图分类号：TP39 文献标识码：A 文章编号：2095-1302（2020）05-00-04
　　0 引 言
　　当导体中有交流电或者交变电磁场时，导体内部的电流分布不均匀，电流集中在导体的“皮肤”部分，即电流集中在导体外表的薄层，越靠近导体表面，电流密度越大，导线内部实际电流较小，使导体的电阻、损耗功率增加[1]，这一现象称为趋肤效应。将手机浸入到盐溶液的临界深度后，向手机发出请求时无响应。
　　1 电磁波趋肤效应
　　趋肤效应最早于1883年在贺拉斯·兰姆的一份论文中被提及。1885年，奥利弗·赫维赛德将其推广到任何形状的导体。趋肤效应使得导体的电阻随着交流电的频率增加而增加，并导致导线传输电流时的效率降低，耗费金属资源。在无线电频率设计、微波线路和电力传输系统方面都要考虑到趋肤效应的影响。
　　趋肤效应是电磁波传播中的一种物理现象，被广泛应用于国防、通信、电力等行业，在人们的日常生活中发挥着重要作用。
　　趋肤效应可用电磁波向导体中透入的过程加以说明。电磁波向导体内部透入时，因为能量损失而逐渐衰减。当波幅衰减为表面波幅的e-1倍的深度时，称其为交变电磁场对导体的透入深度[2]。以平面电磁波对半无限大导体的透入为例，透入深度方程式中ω为角频率，γ为导体的电导率，μ为磁导率，发现透入深度与这三个量成反比。电磁波在导体中的波长为2z0，趋肤效应是否显著也可以由导体尺寸与其中电磁波波长的比较来判断。如果导体的厚度较导体这一波长大，则趋肤效应显著。
　　在大学物理教学中，如何进行趋肤效应实验和讲解趋肤效应理论已有许多研究成果。但是如何吸引学生的兴趣，提高学生做实验的主动性，从而进行创新性实验，以及如何更简单、清楚地介绍趋肤效应，仍是一个值得深入研究的课题。现如今学生拥有手机已经是普遍现象，利用手机实验能够增加学生与科学接触的兴趣，利用这种共生关系可以设计实验和以手机为研究核心的项目。例如，用手机的摄像头来记录生态学、地质学中的图像，或者采集实验数据。同样，可以用智能手机的传感器来做运动学的相关实验，并且其铃声在一些实验中也可作为真空钟罩中的声源。手机是高频电磁波的发射器和接收器，频率范围为700～2 100 MHz，波长为0.42～0.14 m。利用这些特性，可以针对电磁波在导电介质中的传播情况进行研究。
　　在物理课上向同学们介绍的无线电波和光，属于电磁波的一部分，并且这些波由振荡的电场和磁场构成。研究这些抽象的事物要求学生要有扎实的基础和足够的信心，所以需要同学们不断学习。
　　通过研究波的一些电性特征可使波的概念更清晰具体，比如磁导率、介电常数或介质的导电性。同样在轴向磁场下利用法拉第效应来证明波的磁性性质，并根据沿同轴电缆电磁脉冲的波速来显示对内、外导体之间介电常数的影响，从而证明波的电性性质。但实现这两种实验都需要相对先进、高级的设备，以及对概念有更深入的理解，相比較而言，要研究导电性对电磁波传播的影响则更容易。
　　2 趋肤效应产生的原因
　　当系统处于稳定状态时，只有交流系统的电磁感应能够持续产生作用，而直流系统的电磁感应将停止。
　　根据电磁感应定律，交变电场将在其周围产生交变磁场。因此交变电流流过导体时，必然会在导体内部及导体周围产生交变磁场。如果将流过导体截面的交变电流看成由无数电流线组成，则每根电流线都会在其周围产生交变磁场。
　　趋肤效应原理如图1所示，将导体截面分成两部分，即区域B和区域A。
　　在图1中，对于区域B，电流线相交链的磁通为Φ1和Φ2，而外部的区域A，电流线相交链的磁通仅为Φ1。即靠近导体中心的电流线所交链的磁通要大于远离导体中心的电流线。又由于交变磁场会产生感应电动势，而该感应电动势的作用将阻止原电流的变化，其结果使得通过导体截面的电流减少。
　　将一段实心的圆柱状导体看作由许多具有相同横截面，且同轴的薄层圆柱状导体并联而成，在其两端加上交流电压后，环绕内层圆柱状导体磁通量多，环绕外层圆柱状导体磁通量少，因此内层导体和电源组成的回路的阻抗大，外层导体和电源组成的回路的阻抗小，并且越趋近表面阻抗越小。同时，沿外层圆筒流过的交变电流密度将大于沿内层圆筒流过的交变电流密度，从外表面到中心轴线，流过各层圆筒的交变电流递减。
　　越靠近导体中心，交变磁场在导体内所产生的感生电动势就越强，其阻碍原电流变化的作用就越强，导致导体内部中心部位的电流密度J（r）比导体外部小。
　　电磁感应现象是交流电流产生趋肤效应而直流电流不会产生该效应的根本原因。
　　设趋肤效应在导体内的穿透深度为b，则b的表达式为：
　　
　　式中：ρ为电阻率;f为频率;μ为导体材料的磁导率。
　　由式（1）可知，随着交流电流频率的升高，穿透深度减小，趋肤效应就越严重。因此高频信号必须考虑趋肤效应的穿透深度问题。
　　由式（1）得到一个重要结论：对导线而言，交流电阻大于直流电阻。
　　交流电流在导体内部的流动趋向于导体表面，而直流电流在导体中的流动区域为导体截面。 　　3 趋肤深度
　　电磁波在导电介质内传播时，在低频电磁波（ω<<1017 Hz）
　　的作用下，导电介质中的自由电子只分布在表面，即电荷体密度ρ=0，由微观的欧姆定律有：
　　
　　将式（2）代入微分形式的麦克斯韦方程组：
　　
　　式中：;。
　　电磁波电场的波动方程为：
　　
　　（1）考虑时谐（单色）波，即以一定频率ω做简谐振荡的电磁波，其复数表式为：
　　
　　将其代入式（4）整理得：
　　
　　在此定义复介电常数ε'，令：
　　
　　将式（7）代入式（6），可得导电介质中电磁波电场分量所满足的方程：
　　
　　由此可得绝缘介质中电磁波的电场满足方程：
　　
　　其中，对于没有任何损耗的绝缘介质而言，ε为正实数。
　　（2）为了证明存在趋肤效应，定义复波矢，则：
　　
　　将式（10）代入式（8），可得在良导电介质中电磁波的波动方程为：
　　
　　在良导电介质中，时谐平面电磁波为：
　　
　　令复波矢，式中，均为实矢量，则：
　　
　　与绝缘体中的电磁波相比，式（13）中多了一项指数衰减项，电场为阻尼振荡形式。电磁波在（良）导电介质中传播时，由于存在损耗，其振幅随着传播距离的增加而呈指数衰减。
　　（3）电磁波垂直入射导电介质表面，如图2所示。
　　由式（7），式（10），式（11）可得：
　　比较得：
　　
　　解式（14）计算可得：
　　
　　根据以上分析和计算，可将式（13）化简为：
　　
　　电磁波在导电介质表面的穿透深度为：
　　
　　综上所述，当电磁波进入导电介质时，电场E和渗入深度z呈指数衰减关系：
　　
　　式中：E0为表面场;δ为特征距离，也称为趋肤深度（穿透深度），它受介质的磁导率μ，介电常数ε，电导率σ，以及电磁波频率f等因素的影响。针对任何介质，都可代入趋肤深度公式：
　　
　　式中，ω为角频率，ω=2πf。
　　对于导电性能较好地的导体，上述表达式可化
　　简为：
　　
　　公式（20）表明，随着频率或电导率的增加，趋肤深度将减小。
　　本实验是为了研究不同浓度的盐溶液中电导率和临界深度间的关系。当手机浸入盐溶液中处于临界深度zc时，手机无响应。需要说明的是，临界深度与趋肤深度不同。
　　任何接收设备都会在电场、磁场的作用下有响应。通常接收器的灵敏度用最低功率Pmin表示，并且要其输出给定信噪比。功率大小受天线形状和单位面积下接收功率的影响，因此可以通过接收器的平均坡印廷矢量来定义其强度。
　　因为接收到的功率取决于电场的平方和介质的固有阻抗，假设达到接收机的灵敏度Pmin时手机响应。
　　
　　式中，P0为参考功率，是关于表面场E0的函数，当改变溶液的电导率时，除了固有阻抗有细小的变化（变化幅度小于12%），其他变量保持不变，所以实验中假设P0不变。
　　整理得：
　　
　　因为有许多未知的变量（Zc， E0， Pmin），无法求出k理论值，但可根据测量的临界深度Zc计算出k的实际值。實验中，电导率和临界深度两个变量可改变，假设k恒定，那么所预测的临界深度应和计算出的趋肤深度呈线性关系。
　　推导出的公式（21）中，假设入射波垂直向下，其有效距离为水平面到手机的距离。一般情况下，虽然波的入射角未知，但是尽可能确保波为斜入射，从手机到容器壁的水平距离和从手机到容器底部的距离至少有一个大于水平面到手机的垂直距离。由于衰减指数与距离相关，所以入射波的水平分量相比垂直分量显著减小。
　　要分析出结果，还需要知道盐溶液的浓度和其导电率之间的关系。得到海水和NaCl溶液的相关数据比较容易，可以初步开展实验，建立解决方案并与得出的数据进行比较。
　　4 趋肤效应实验
　　本文在15 L的矩形塑料容器中进行实验。先把手机放在保鲜袋中，然后再将其放入一个小塑料防水盒中，防水盒到容器两侧的距离和到容器底部的距离至少有一个大于溶液表面到防水盒的距离，以保证无线电波传到手机的距离是从顶部表面到达防水盒。实验所用手机为900 MHz频段的2G手机。
　　我们分别把装有手机的盒子放在不同深度的溶液中，并在不同深度处向其发出请求，如果实验成功，手机会发出响声并能感觉到手机振动。放入溶液中后，测量液体表面到防水盒的距离，并记录手机是否有响应，一旦手机无响应，就稍微提起防水盒直到水机再次响应。多次试验后，发现临界深度范围为1～5 cm，精度为2 mm。重复在4种不同浓度的溶液中试验。
　　利用式（3）和式（4）计算出的理论趋肤深度是关于浓度的函数，其适用于较高电导率的溶液。计算时，假设介电常数为72（一般是溶度为35 g/L海水的数值[3]），频率[4]为900 MHz。图3为测量出的临界深度和理论值的对比。图4为基于式（3）和式（4）得到的实验值与理论值的比较。
　　趋肤深度正如计算的那样，截止深度与深度变化呈线性关系k=1.32±0.1，与假设一致，实验中，可以把P0看作常数。
　　如果把k=1.32代入公式，求解功率的比值，结果Pmin/P0=0.071或7%，则说明当信号衰减到约11.5 dB时截止。事实上，根据实验画出的直线就可以说明截止深度是趋肤深度乘以常数k得到的。 　　为了试验较高导电率的溶液是否适用，根据式（3）乘以比例系数k=1.32绘制出了测量值和理论值的趋肤深度，还可以利用式（4）乘以比例系数2.5得到计算结果（以便结果更接近）。可见，在现有条件下仍无法求出趋肤深度，即曲线是错误的。
　　通过计算的数值来检验结论，当溶度为20 g/L时，其数值为0.75。如果式（4）有效，其数值不要求远大于1。
　　5 结 语
　　上述实验表明，只使用一罐盐溶液和一部手机就可以定量研究导电介质中的趋肤效应。但在900 MHz频段下，盐溶液不是良好的导电介质，所以在这种情况下，趋肤深度的表达式无效。然而要想应用趋肤深度的公式，须用理论值乘以常数k才与实验数值一致。
　　在此之后，也可以用手机在1 800～2 100 MHz频段上试验。当溶度为40 g/L，频率为900 MHz时，趋肤深度为
　　1.3 cm，而在2 100 MHz時趋肤深度下降到0.85 cm，变化较小不易观察。另外，除了可以使用手机，也可以考虑其他电子设备，如工作在100 MHz左右的小型调频收音机，依据理论计算，当浓度为40 g/L时，趋肤深度为2.3 cm或2.2 cm。在较低浓度如5 g/L时，临界深度为8 cm，需要用到更大的容器。
　　对于实验用的塑料容器，将来可以使用左上端开口的金属容器替代，这样金属可以阻止电磁波通过侧面或底部进入容器内部，保证顶部表面与手机的距离是唯一维度。
　　从学习的角度来说，学生们通过参与该项目增加了他们的学习兴趣和动力。特别是以手机作为这个实验项目的核心，不仅激发了他们的想象力并使他们持续保持了较高的学习热情，对电磁波的性质有更深入的了解。从教育角度出发，重复试验能够帮助学生了解电磁波的性质，并检验与所知是否相符。
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