浅析高阶行列式的几种计算方法
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作者:姜小霞 王海扬 田应信 谭杨
摘 要：行列式是线性代数中非常重要的内容，也广泛应用于许多实际问题的解决，它为求解线性方程组问题提供了工具。然而高阶行列式的计算却是这部分的难点，需要根据所求高阶行列式的形式，分析其所具有的特点，采用适当的方法将高阶行列式的计算进行简化。该文将主要针对3种特殊形式的高阶行列式進行分析，从而给出相应的计算方法。
关键词：行列式 递归法 三对角型 爪型
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2021）01（a）-0225-03
Analysis of Several Calculation Methods of High-order Determinant
JIANG Xiaoxia WANG Haiyang TIAN Yingxin TAN Yang
（Tongren Polytechnic College，Tongren，Guizhou Province，554300 China）
Abstract： Determinant is a very important content in linear algebra， it is widely used to solve many practical problems. It provides a tool for solving linear equations. However， It is difficult to calculate high-order determinant. We need to analyze its characteristics according to the form of higher-order determinant. In this paper， three special forms of high-order determinant are analyzed and the corresponding calculation methods are given.
Key Words： Determinant; Recursive method; Tridiagonal type; Claw type
《线性代数》是理工科专业一门必修的基础课程，而行列式理论虽然是该课程中的基础部分，却也是该课程中非常重要的部分，为求解线性方程组问题提供了工具，在实际生活中许多问题的研究中，都有着广泛的应用。在行列式的应用过程中，必不可少地涉及行列式的计算。但行列式的计算，特别是高阶的计算是一个很复杂和麻烦的问题，一直以来也是很多学生学习的难点。该文将针对3种特殊形式的高阶行列式，给出相应的计算方法。
1 高阶行列式的计算
在n阶行列式的定义中，给出了行列式的值是由所有取自不同行不同列的n个元素所构成的乘积的代数和，这为n阶行列式提供了直接计算行列式值的方法。但是在实际计算中，发现n阶行列式的值是由n！项组成的代数和，且每一项是n个数的乘积，这使得计算并不简单。这时，可以利用行列式的性质，将高阶行列式变形，转换称为一些比较容易求出结果的行列式的形式，比如，将行列式转换称为含有较多0元素的行列式，甚至有些行列式可以转换称为具有特殊形式的行列式，进而可以快速得出行列式的结果。但是，n阶行列式的形式比较多，很多时候很难快速的将行列式转化成为像上三角形或是下三角形这样的特殊形式。为此，在计算n阶行列式时，需要不断观察n阶行列式的特点，然后针对不同类型的行列式的特点，选择合适的方法来计算n阶行列式的值。
1.1 递归法
递归法计算行列式，是指在计算n阶行列式Dn时，若根据所求行列式的特点，可以找到Dn、Dn-1或者是Dn与Dn-1、Dn-2之间的联系，从而可以构建他们之间的递归关系，最后利用D1和D1低阶行列式的值，得到Dn的结果。
例1 计算n阶行列式。
通过观察发现，此行列式中，只有3条线（主对角线和两条次对角线）上的元素是非0元素，而其余各元素均为0，像这样形式的行列式，称其为三对角线型行列式。对于这样的n阶行列式的计算，可以快速找到Dn与Dn-1、Dn-2之间的关系，从而得出n阶行列式的结果。
解：将行列式Dn按第一列展开可得：
整理可得，由此递推关系可得：
（1）
又因为，于是得到：
（2）
当α≠β时，由于α和β的对称性，同理可得：
（3）
由（2）和（3）式可解得：
（4）
当α=β时，由可以推出，将代入即可得出。
因此
1.2 可化为爪型行列式的计算
爪型行列式是指形如：
主对角线以及位于第1行和第1列这3条线上的元素非0，而其余元素均为0的行列式。针对这种类型的行列式的计算问题，可以将第2列至第n列分别乘以加到第1列，转化为上三角形行列式，或者可将第2行至第n行分别乘以加到第1行，转化为下三角形行列式，均可以得出所求行列式的结果。
例2 计算n阶行列式。
解：此行列式出来主对角线上的元素外，其余元素均为1，于是从第二行开始，每一行减去第1行，可得爪型行列式。 从第2列开始直至第n列分别乘以加到第1列，可转化为上三角形行列式。
于是便容易得出：
例3 计算n阶行列式。
解：此題形式上与例2有区别，其中除了主对角线和第1行第1列上的元素外，其余元素均为β，实质上仍然可以利用行列式的性质将其转化为爪型行列式进行计算。首先将第1行的倍分别加到第2，3，…，n行，再从第2列开始直至第n列分别乘以加到第1列，即：
1.3 综合应用
在n阶行列式计算中，很多时候行列式比较复杂，很难直接运用一种方式就得出结果，可能需要综合采用几种方法才能计算出结果。
例4 计算n阶行列式。
解：此行列式的特点是主对角线上的元素为x，主对角线下的元素为z，主对角线以上的元素全为y，若将该行列式直接转化为上（下）三角形比较难，可利用行列式的性质，将该行列式拆成2个行列式之和。
将上式右端中第1个行列式按第n行展开，第2个行列式从1行至第n-1行分别依次减去其后一行，然后再按照第n列展开，可得
（4）
由于在此行列式中，y和z处在对称位置，同理可得：
（5）
联立（4）和（5）式，消去Dn-1，可以得出：
在上式行列式中，若y=z，则可以采用与例2类似的方法求解，这里不再重复。
2 结语
总之，在n阶行列式的计算中，由于行列式的变化形式比较多，计算行列式的方法也有很多。该文只是针对这3种特殊的形式给出了相应的计算方法。实际上，有很多的方法可以用来计算行列式，只是每一种方法可能只适用于具有某些特点的行列式的计算，并不适用于求解所有的行列式。因此，对于不同形式的行列式，先要观察行列式所具有的特点，具体情况具体分析，也可以和以往碰到的一些情况进行对比联系，然后再采用适当的方法，将求解过程简化，从而能较快地求出行列式的值。
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