用活教材实现数学学习的继承与发展
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摘要：作为高中数学教师，要用活教材，从整体与全局入手，充分理解与体会编著者的意图，挖掘数学课程所蕴含的资源与价值；更好发挥数学的内在力量；从而让学生的数学学科核心素养得到更好的培养，数学学习得到更好的继承与發展。
关键词：用活教材；数学学习；圆与椭圆；整体设计；内在联系；继承与发展
我思故我在。人是靠思想直立的，没有“思”是不行的，仅有“思”是不够的，还必须在“思”的基础上进行“研”，我“研”故我智。作为一名数学教师，只有对教材深入思考与研究，理解和体会编著者的意图，才能更好地让数学知识、方法与思想得到继承与发展；让更多的学生喜爱并研究数学。因为数学的育人就要从如何发挥数学的内在力量，如何才能充分挖掘数学课程所蕴含的价值观资源；以实现学生数学学科核心素养的发展的需要，培育学生的理性精神。下面是我在上圆与椭圆内容时所做的一些处理与尝试。
在必修二上圆的定义时，我根据椭圆有两个定义这一特点，在讲圆的定义后我给学生抛出了一个问题“在平面上除了用动点到定点的距离等于定值的点集合来刻画圆外，还有没有其他方式？我们今后要学习的椭圆可是有两种刻画方式哦！”激起了学生探究与深入学习圆的定义的热情与兴趣。课后我给学生留了这样一道题“在平面上，已知动点P（x，y）到两定点A（-1，0）与B（1，0）的距离之比为2，求动点P的轨迹方程。”第二天上课讲评告诉学生答案是x-532+y2=432；引申1：若将题目变成是“在平面上，已知动点 P（x，y）到两定点A（-c，0）与B（c，0）的距离之比为m，动点P的轨迹为圆，求实数m的取值范围。”引申2：圆的第二定义：在平面上，已知动点P（x，y）到两定点A（a1，b1）与 B（a2，b2）的距离之比为常数m（m>0，m≠1），动点P的轨迹为圆。这样就为推导椭圆的标准方程奠定了坚实的基础，让学生对课本方法理解就更为透彻，从而掌握得更好，实现了数学学习的一次继承与发展。
章建跃博士就提倡单元整体设计教学，他认为学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的，它有阶段性、连续性与整合性等特点；所以，整体把握教学内容对促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展具有重要意义。《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》（下称《课标》）中也这样写道：无论是教材的编写，还是教学的设计，都可以考虑改变传统的设计思路，不是就每一节课或每一个知识点进行设计，而是把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计。碎片化的数学内容，无法把数学的本质表述清楚，更无法体现数学的核心素养。可以把这样的整体称为单元或者主题，把这些内容前后照应进行教学设计，就可以在关注知识与技能的同时，思考知识与技能所蕴含的数学本质、体现的数学思想，最终实现学生形成和发展数学学科核心素养的目标。
在2-1学习椭圆的标准方程时，在必修一与四学习了函数图像的伸缩变换，虽然圆与椭圆不是函数，但它们都存在对应关系，这样就较为自然地从伸缩变换的角度揭示了圆与椭圆的关系即椭圆可以由圆沿某一方向“压扁”得到。经过这样的压缩后，圆的每条半径变成连接椭圆中心与椭圆上一点的线段。其中最长的为长半轴，最短的为短半轴。圆的大小由半径决定；椭圆的形状和大小由长半轴和短半轴决定。这样就有效地将圆与椭圆整合在一起，为解决椭圆的一些问题做好了较为充分的铺垫。
如在湘教版第39页例3：对不同的实数m，讨论直线y=x+m与椭圆x24+y2=1的公共点的个数。我们常规解法是联立直线与椭圆方程，消元后通过Δ来判断，其实我们也可以通过伸缩变换把椭圆方程与直线方程先进行变换成圆与新的直线，利用圆心到直线的距离与半径的大小也可得出正确答案，过程如下：令x′=x2y′=y，则直线l：y=x+m可化为2x′-y′+m=0，椭圆x24+y2=1可化为圆O：（x′）2+（y′）2=1，则圆心到直线的距离d=|m|5，所以当|m|>5时，直线与椭圆相离，当|m|=5时，直线与椭圆相切，当|m|<5时，直线与椭圆相交。这样，就让学生再一次感受了圆与椭圆间的密切关系，也告诉学生许多问题可以通过化归与转化的方法来解决。
虽然我们高中数学课程内容的选择遵循了以三条原则：基础性、发展性与可行性；但模块化的课程结构，使得同一主题的内容分散在不同模块中，割裂了数学内容之间的逻辑联系。而发展性就要求课程要具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法；可行性是针对学生的，相互之间有交叉。所以，如果单纯在模块内进行教学是无法很好实现发展性与可行性的；《课标》中也这样写到：学生数学学科核心素养的形成与发展，是在教师的启发和引导下，学生通过自己的独立思考或与他人交流，最终自己“悟”出来的，是一种逐渐养成的思维习惯和思想方法。因此，在教学活动中，把握数学内容的本质、精心设计合适的教学方案就非常重要。数学学科核心素养的养成是日积月累的结果，因此需要整体设计、分步实施。
再如在圆中有性质：直径所对的圆周角等于90°即圆上的动点与直径两端点连线的斜率之积等于-1。因为椭圆x2a2+y2b2=1可由x′=xay′=yb伸缩变换成（x′）2+（y′）2=1，则单位圆上任意一点P（x′，y′）与A（-1，0）、B（1，0）连线的斜率之积为-1即KPA·KPB=y′x′+1·y′x′-1=（y′）2（x′）2-1=-1y2b2x2a2-1=-1y2x2-a2=-b2a2即椭圆上任意一点P（x，y）与长轴上的两顶点A（-a，0）、B（a，0）连线的斜率之积为定值-b2a2，这样很自然地让学生理解并推导出了椭圆中重要的一个结论；同时再次让学生体验了数学学习的环环相扣及数学不同章节之间的继承与发展。事实上这一结论如果不从椭圆与圆的关系来揭示是很难发现的，虽然证明并不难。章建跃博士就强调代数要教归纳，而几何要教类比；研究对象在变，但研究套路与思想方法不变。
今天，我们沐浴在新世纪的曙 光里。中国数学教育呼唤着新的变革；素质教育要落实在数学课堂上；新一轮数学课程改革已经拉开序幕那就是要深入研究数学知识间的内在联系，在问题引导下进行有效研究，这比使用多媒体技术与计算机课件上课更为重要，因为这能让学生更好地学会学习，发现数学众多知识间的有机与密切关联，这也正是数学的最大价值——发展人的思维，让人变得更聪明而且更爱学与善学。使学生在数学学习中树立自信与启迪智慧。课程标准也认为普通高中教育的任务是促进学生全面而有个性的发展，为学生适应社会生活、高等教育和职业发展做准备，为学生的终身发展奠定基础。爱因斯坦说过：“知识是会忘记的，留下来的是教育。”所以掌握知识并不是教育的最终目的，发展认识力才是教育的最大目标。因而我们的教学应该是教会学生去思考、去继承与发展，进而提升自己的认识能力与水平实现自我的发展与跨越！
作者简介：
林志坤，福建省龙岩市，福建省长汀一中。
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