学好几何的关键是理解概念
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作者: 娄 康
许多学生常常发出这样的感叹:“几何,几何,老师难教,学生难学。”其实几何并不难学,它是一门很有趣味的数学分科。为什么有的学生会感到如此“难”呢?其根本原因是学生没有学好几何的基本概念。
几何学是一座建立在一系列的概念和公理、定理之上的“高楼大厦”。课本的开头部分概念很多,掌握好这些概念就像给这座大厦打好地基一样重要。学习几何概念要注意理解它的实质,千万不要只是死记硬背,理解其意。具体地说,学习的每一个概念都应该做到以下几个方面。
一、要会描述
学生要先弄清概念的三个方面:①定义――对概念的判断;②图形――对定义的直观形象描绘;③表达方法――对定义本质属性的反映。学生要注意概念间的联系和区别,在理解的基础上记住公理、定理、法则、性质。就是能正确地叙述概念的定义。几何概念是几何图形本质属性的思维形式。概念和词语是密切联系着的,词语是概念的语言形式,概念是词语的思想内容,两者紧密联系、不可分割,但是,概念和词语之间并不是一一对应的。这是因为不是所有的词语都能表达概念的(如虚词);同一个概念可以用不同的词语表达(如“等边三角形”和“正三角形”表示的是同一个概念)。我们要在掌握概念本质含义的前提下,去对它下定义、去表达它,切不可死记硬背书本上或老师给出的叙述性语句,而应该用我们自己的语言去准确地表述。当然,课本上所给出的定义,通常是准确而简洁的,对这些内容要努力将其吸收转化成自己的语言。
二、会画图
学生要学好几何语言。几何语言又分为文字语言和符号语言,几何语言总是和图形相联系。如文字语言:∠1和∠2互为补角,符号语言:∠1+∠2=180°或∠1=180°-∠2,或∠2=180°-∠1。就是能画出表示概念的图形(包括变式图形),熟练地掌握概念的标注和读法,平面几何是研究平面图形的科学,学习平面几何当然离不开几何图形。所画的图形应十分准确,才能客观地反映概念所揭示的本质含义,才便于我们去探索论证。对概念的标注的读法,要规范。一些约定俗成的“规矩”,我们必须严格遵循(如标注点,要用大写的英文字母,等等)。
三、会识图
因为“看”是吸引,“说”是表达,看是说的基础,只有看得清楚,才会理解得透,看懂已知条件和结论的关系。几何的证明重在根据图形的特点结合已知条件和要达到的目的进行推理。学生通过直观思维,可以根据书上的图形,动手动脑用硬纸板、竹片等做些图形,详细进行观察分析。这样既可帮助学生加深对书本定理、性质的理解,进行直观思维,又可逐步培养观察力,能在复杂图形中正确地识别表示某个概念的那部分基本图形,也能把几个简单图形组合成一个较复杂的图形。
四、会翻译
学生要富于想象。有的问题既要凭借图形,又要进行抽象思维。比如,几何中的“点”没有大小,只有位置。现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。所以说,几何中的“点”只存在于大脑思维中。“直线”也是如此,直线可以无限延伸,谁能把直线画到火星、再画到银河系、再画到广阔的宇宙中去呢?直线也只存在于人们的大脑思维中就是能对概念的文字语言与结合图形的数学语言进行互译,几何语言非常精炼、严谨,逻辑性很强,每一句话都有相应的“图”与“式”,语、图、式三者之间要根据需要相互转化。
五、会应用
学生要边学习、边总结、边提高。几何较之其他学科,系统性更强,学生要把自己学过的知识进行归纳、整理、概括、总结。比如证明两条直线平行,除了利用定义证明外,还有哪些证明方法?两条直线平行后,又具备什么性质?在现实生活中,哪些地方利用了平行线?只要细心观察,不难发现,教室墙壁两边边缘,门框、桌、凳、玻璃板、书页、火柴盒,大部分包装盒……处处存在着平行线。学生要能运用概念进行简单的判断、推理和计算。要牢固地掌握概念,一靠理解,二靠运用。要在运用中强化和巩固概念,进而形成概念系统。
例如,解答“已知一个等腰三角形两条边的长分别是5和8,求这个三角形的周长”这一问题时,学生首先要明确“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”这一概念,在此基础上再进行分类:当腰长为5,底为8时三角形的周长为5×2+8=18;当腰长为8,底为5时三角形的周长为8×2+5=21。学生通过这样的运用,不仅能牢固掌握概念,而且能丰富和完善想象,提高分析问题和解决问题的能力。又如,我们要证明两条线段相等,可以归纳出来以下途径:(1)利用全等三角形;(2)利用等腰三角形的性质;(3)利用平行线等分线段定理的推论;(4)利用直角三角形斜边中点的性质;(5)利用垂直平分线上的点的性质;(6)角平分线的性质;(7)利用平行四边形、矩形、菱形、正方形等性质的运用。
只要学生认真学习,注意听讲,勤于思考,独立完成作业,在学习过程发挥自己的主动性,敢于发表自己的意见,感于标新立异,追跟问底,就一定能由愿学、乐学、学会到会学,思维能力得到提高,开发了创造潜能,使自己真正成为学习上的主人。
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