如何在高等代数中“纵关”与“横联”
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作者: 徐传泉
摘 要：初等代数的研究对象扩充形成高等代数后，对原来的许多概念和量进行了创新和扩充。本文简要分析了纵关线性方程组理论及横联的数形互动。
关键词：高等代数；数形互动；线性方程
中图分类号：G640 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）01-0080-01
一、纵关
线性方程组理论对高等代数来说尤为重要和不可或缺，通过与初等代数的加减消元法相比较，对线性方程组矩阵解法、一般性数域上的多元线性方程组解的判断及对解的结构的研究、讨论了线性方程组解在几何上的意义，解决了关于线性方程组中初等代数没有能够解决的诸多问题，表现出高等代数解决问题的成熟性规范。
科学技术领域和工程中的很问题都是通过对非线性方程组的求解来解决。因此，对非线性方程组的求解是科学研究和工程建设中不可避开的问题。学术界的许多专家，多年来对于高等代数中非线性方程组的求解问题做了很多研究。例如我们常听到的牛顿法、迭代法、共轨方向法、梯度法等，就是为求解非线性方程组而提出来的。但是这些方法无一例外的是针对一些具有特殊性质的非线性方程组求解，对于那些缺少特殊性质的复杂方程组并不能顺利求解。
进化计算技术的兴起，和在和优化问题上的广泛应用，引起了学术界的普遍关注。特别用粒子群优化算法求解非线性方程组成了学术界思考所在。粒子群优化算法极少的参数设置、极快的收敛速度，极强的使用性，成了学术界不可抵制的“诱惑”。各种利用粒子群优化算法求解非线性方程组的方法纷纷被提了出来，非线性方程组的求解迎来了另一个春天。差异算法的稳健性让人吃惊，无论是求解多峰函数、非凸函数还是非线性函数的优化问题都游刃有余，而且对同样的精度要求，差异算法收敛的速度十分惊人，并在解决函数的优化问题上，迅速“流行”，而在各种解决方案中也颇受欢迎。学术界利用差异演化的算法在非线性方程组的通用模型上演算，然后将演算结果与粒子群优化算法同等条件下的演算结果进行对比，发现两者并无误差，这为差异演化的算法的广泛应用提供了坚强的后盾。
二、横联
“数”“形”互动完美的形容了高等代数和解析几何的关系，可以说这两门学科是互相依存的，“你在，故我在”，离开其中的一门，单纯谈论另一门，是十分空洞的。高等代数高度抽象性的概念与高度概括性的定理，对于许多初学者来说显得十分飘渺虚无，看不到，又摸不着。高等代数的这些特点使其成为一门让人“望而生畏”的学科。初学者在学习高等代数的时候往往感觉十分抽象，面对各种习题往往无从下手。特别是线性代数作为高等数学与解析几何的桥梁，将两者紧密相连，相互依赖，使高等代数的理论延伸到了解析几何，高等代数成了“无边无尽”的学科。解析几何将高等代数中向量空间与欧式空间的理论应用于二维空间、三维空间当中，其本质其实就是二维或者三维的线性代数。所以很多高校老师都会面对这么一个问题，究竟采用何种方法可以通过某些几何的具体实例来进行高数与解析几何之间的数形互动，能够让学生通过几何模型“看得见”代数概念，同时代数的理论、概念也能简化我们对几何的研究，这对学生来说是很有帮助的。对于很多初学者来说，高数抽象的概念是令人难于理解的，对原理、定理更加难以推导和应用。几何实例适时适当的应用于高等数学是至关重要的，就像将本来虚无缥缈的东西变得可见了，使抽象的东西变得不再抽象了，这对初学者是十分重要的。不仅如此，还能更好的体验和掌握一般的代数理论，并用之于解析几何。
很多初学者都在避谈“建模”的抽象，尽量以图形作为分析的手段。但是，无论我们是否承认，传统学习方法中很多方法对于我们来说还是十分受用的。数学模型和数学概念就像一对双胞胎，没有谁好谁差之分，都是科学研究中十分重要的方法。逻辑思维与形象思维既对立又相互联系，都是从低到高逐渐发展。简单的说逻辑思维就是物质的本质，通过分析、对比、剥离、综合、简化分析概念，在此基础上，利用概念对新的问题进行判别、推算。形象思维则是一种“看得见”的思维，它通过“看物体”对知识进行分析、对比、剥离、综合和概括。
三、结论
高等代数看似独立，但是和其他的学科之间，却是彼此牵连、相通。因此，在学习过程中不仅需要关注各体系，各学科之间的交互，还应该学会如何在高等代数中“纵关”与“横联”，只有这样才能真正学好高等代数。
参考文献
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