苏教版小学数学教材中渗透函数思想的分析研究
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作者: 高 华
摘 要: 数学新课程把函数思想作为贯穿中小学数学的一个重要思想,教材作为课程实施的载体,系统地挖掘并整理小学数学教材中蕴含函数思想的因素,对提高小学教师对教材中函数思想的认识,进而在教学中有效地渗透函数思想具有重要的意义,进一步体现新课程改革的理念,使小学数学和中学数学有更好的衔接。
关键词: 苏教版小学数学教材 函数思想 呈现方式
在新课程改革的背景下,《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中提出一些重要的数学概念与数学思想方法应根据学生的心理特征、知识背景和所学知识的特点循序渐进、螺旋上升。函数思想作为贯穿中小学数学的一个重要思想,虽然在小学阶段并没有出现函数概念,但苏教版小学数学教材中的很多内容都渗透了函数思想。教材中所蕴含的函数思想主要体现在:对应关系、数列和图形的排列规律、运算性质和计算公式、用字母表示数、正反比例、统计图表这些知识板块中,在这些知识的呈现方式上随着年级的增高抽象化程度逐步增强。
1.对应关系
变化和对应的思想是函数思想的本质,低年级渗透的对应思想主要借助实物等一些具体的模型,使学生直观地感受对应关系,中高年级渗透的对应思想主要是抽象的数与数之间的对应。
如:一年级:数一数,名数与常数之间的一一对应,认数,借助实物将同样多的部分建立一一对应关系,让学生体验大于或小于;借助小棒建立不同计数单位之间的对应关系,让学生领悟十个一是一个十。二年级:认识乘法,由一个加法算式对应两道乘法算式。三年级:24时计时法与普通计时法一一对应,轴对称图像上的点关于对称轴一一对应。四年级:在折线统计图中数据与统计图中的点一一对应。五年级:点的位置和它的坐标一一对应。在表现形式上,既有以图解的形式体现对应关系,使学生直观的体验到“像”与“原像”之间的“一一对应”;又有以数轴的形式体现对应关系,使学生感受到越靠近右端数越大。
2.图形(数)的排列规律
“探索规律”是新课程小学数学教材“数与代数”领域内容的一部分,《标准》把“探索规律”作为渗透函数思想的一个重要方面,“探索规律”实际上就是培养学生的“模式化”思想,发现规律就是发现一个“模式”。
如在一、二年级:各种图形按照边数的变化、周期性的排列,按照颜色变化规律的排列,一年级下册:百数表中的规律,在百数表中除了可以探索数的排列规律(横着、竖着、斜着)外,还可以进一步探索每一行中相邻的两个数的规律、每一列中相邻两个数的规律,甚至每两行与每两列相邻四个数之间的规律,这些规律中蕴含着多种变化的模式。各册教材中出现的找规律填数,也能让学生体会简单数列排列的规律,而数列的本质就是定义域在自然数集上的函数。
3.运算性质
在小学数学中,运算是主要的内容之一,各种运算性质中都渗透了函数思想。低年级主要借助计算表让学生发现加法、减法、乘法口诀中的规律。高年级让学生自己探索小数乘除法的运算规律。
如:一年级上册,10以内的加法表,竖着看,学生可以发现在一个加数不变的条件下,和与另一个加数的变化是有规律的;横着看可以发现,在和不变的条件下,另两个加数都变,而且变化也是有规律的。二年级上册,在乘法口诀的学习中就自然而然地对“乘法中的运算规律”进行了探索,乘法口诀的学习是一串一串的,学生很容易就发现“一个因数不变,积随着另一个因数的变化而变化”的规律。五年级上册,在小数乘法的学习中,学生从另一个角度领悟乘法运算中的规律,即“一个因数不变时,另一个因数大于1时,积大于这个因数;另一个因数小于1,积小于这个因数;另一个数越接近1,积就越接近这个因数。”小数除法的学习中,学生不仅可以发现“除数小于1(且大于0),商会大于被除数;除数大于1,商小于被除数;除数越接近1,商越接近被除数”的规律,而且会体会到,当被除数不变时,除数缩小n倍,商反而扩大n倍;当除数不变时,被除数缩小n倍,商也缩小n倍。
4.计算公式
学生从三年级既学习长、正方形的周长公式开始,又学习了长、正方形面积公式;平行四边形、三角形、梯形面积公式;长、正方体表面积和体积公式;圆的面积周长公式;圆柱的表面积体积公式;圆锥的体积公式。这些图形的周长、面积和体积公式实质上都是用解析式表示的变量之间的函数关系式,如圆的周长是半径的一次函数C=2πr,圆面积则是半径的二次函数S=πr2,长方形的周长和面积都是长与宽的二元函数。另外,在解决实际问题中出现的一些数量关系:如单价×数量=总价;在单价不变的情况下,总价是数量的一次函数,这些计算公式给了学生对多元函数自变量与因变量之间关系的感受。
5.用字母表示数
变与不变是函数思想的重要内涵,也是用字母表示数的价值所在,在例1中,当揭示摆a个三角形需用小棒的根数是a×3后,教师可以问:在a×3这个式子中,谁在变化、谁没有变?三角形的个数还可以用什么字母来表示?还可以用什么样的算式表示小棒根数?让学生体会同一个数量可以用不同的字母来表示。通过对例1和例2的比较,学生能感受同一字母在不同的情景中可以表示不同的数。在想想做做第三题中可以让学生体会:在同一题中不同的数要用不同的字母表示,经过这三个环节的教学,在变与不变中渗透函数思想,体现用字母表示数的价值,为学生的进一步学习打好基础。
6.统计图表
统计图直观地反映了数量的变化趋势,折线统计图在刻画连续量时,比条形统计图更全面、更直观地反映了数量的整体性和变化性,因此折线统计图可以看做是一种函数表达式是分段函数的特定的函数图像。折线统计图不仅可以反映数量增加的变化,可以通过折线的下降倾斜程度反映数量减少的变化,四年级教材中呈现的折线统计图,让学生对气温变化的情况变得直观形象;教师也可以布置让学生利用温度计,从6∶30―18∶30每隔两小时记录一次温度,并绘制成折线统计图的作业,让学生在操作的过程中体会数量的增减变化。
7.正反比例
正比例和反比例关系是最常见和最基本的函数关系,因此正比例和反比例是渗透函数思想的重要内容,教材首先借助表格让学生初步感知两种相关联的量和成正比例的量的含义,然后用字母表示数量,每个实例里都有两个相关联的量,分别是路程和时间或者总价与数量,两个量的比的比值分别是速度和单价,用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,然后把路程/时间=速度(一定)、总价/数量=单价(一定)表示成y/x=k(一定),并指出正比例关系可以用这个字母式子表示,最后用图像直观表达正比例关系。例2是按照《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的要求“根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图,并根据其中一个量的值估计另一个量的值”编排的,虽然图像与真正的函数图像有一些差别,如只有第一象限的图像,横轴与纵轴的单位长度不统一,但学生仍可以初步感受到成正比例的两个量的变化是连续的,因此这些并不影响学生借助图像体验变量间的关系。反比例的教学首先也是以表格的形式呈现,并用语言描述,然后用解析式表示,最后用图像表达,综合运用函数的四种表示方法,使学生对函数有了更深入的了解。
小学数学中渗透的函数内容注重对函数思想的多角度理解,在第一学段,主要是以图像、表格的形式渗透函数思想,在第二学段,学生掌握了长方形,平行四边形等图形的计算公式,掌握了一些解决实际问题的数量关系,这些计算公式实际上就是一些简单的函数解析式。到了六年级,正、反比例的意义是渗透函数思想的重要内容,教材首先借助表格直观地呈现两个变量之间的对应关系,接着用语言解释其含义,最后用代数式来表示,使得直观图形―代数式―语言描述三者之间有机结合,使学生对函数有了一个系统地认识。总之,函数思想的渗透是随着学生已有知识经验的积累、能力的提高逐步加深的。
《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》在总目标中提出:获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。因此在小学阶段渗透函数思想,是实现义务教育数学课程总体目标的需要,但由于函数的抽象性与小学生思维发展的直观性之间的矛盾,教师在教学中应抓好契机,把握渗透的可行性,根据知识的内在联系与迁移规律,从联系、发展的角度分析与处理教材,做一些有利于知识衔接的渗透,主要是让学生体验函数思想,而不宜提出过高的要求。
参考文献:
[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[M].北京:北京师范人学出版社,2001.
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