反思在解题中的应用
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作者: 徐吉明
摘要： 数学技能的形成与能力培养都离不开数学解题。在教学过程中，有效地培养数学解题的能力，除了做好审题、制订解题方案、解答表达等工作外，解题后的反思也是一个不可缺少的重要环节。解题本身不是学习的目的，而只是一种训练手段。进行解题后的小结或反思，会有益于我们总结经验，发现规律，形成技能技巧，从而把解题真正变成一种强有力的训练手段。
关键词： 数学解题 反思 积极意义
迅速提高数学解题能力，有诸多条件和因素。长期的学习经验表明，不少学生在完成作业或进行大量解题训练的过程中，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节：解题后的“反思”。何谓“解题反思”？一道数学题经过一番艰辛、苦思冥想解出答案之后，必须认真进行如下探索：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法？众多解法中哪一种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论――举一反三，多题一解？……如此种种，就是“解题反思”。许多学生完成作业，因为学习态度和心理状态的不同，或者教师缺少必要的指导和训练，大部分都缺少这一重要环节，未能形成良好的解题习惯、解题能力和思维品质，未能在更深和更高层次得到有效提高和升华。学习数学，也就只能登堂而未能入室。为了提高学生的解题能力，应该倡导和训练学生进行有效的解题反思。
学生由于认知结构水平的限制，表现出对知识不求甚解，热衷于大量做题，不善于解题后对题目进行反思，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节，也不善于纠正和找出自己的错误，缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括，掌握知识的系统性较弱、结构性较差。通过解题后改进解题过程、探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动，学生的思维可在解题后继续飞翔，“八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底”，这是解题过程中更高一级的思维活动。为了让学生思维继续飞翔，提高解题能力，应该倡导和训练学生进行有效的解题反思。
解题反思的积极意义有如下几个方面：
1.积极反思，查缺补漏，确保解题的合理性和正确性。
解数学题，有时由于审题不确，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，即学生解数学题，不能保证一次性正确和完善。所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些学生把完成作业当成是赶任务，解完题目万事大吉，头也不回，扬长而去，由此产生大量谬误，应该引起重视，加以克制，引以为戒。如1.结论荒唐，引为笑柄；2.以特殊代替一般；3.臆造“定理”，判断无据，以日常概念代替科学概念。以上常见的错误，不胜枚举。因而，解题反思的积极意义及其重要性，必须引起师生在教学中的足够重视。
2.积极反思，探求一题多解和多题一解，提高综合解题能力。
数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终都能殊途同归。即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法。不能解完题就罢手，如释重负，应该进一步反思，探求一题多解、多题一解的问题，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。每一种解法可能用到不同章节的知识，这样可以复习相关知识，掌握不同解法技巧，同时每一种解法又能解很多道题，然后比较众多解法中对哪一种最简捷、最合理？把本题的每一种解法和结论进一步推广，同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路：从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等，善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，便会迎刃而解，这对提高解题能力尤其重要。
3.积极反思、系统小结，使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化，在解题中应用自如、改进过程，寻找解题方法上的创新。
在问题解决之后，要不断反思：解题过程是否浪费了重要的信息，能否开辟新的解题通道？解题过程多走了哪些思维回路，思维、运算能否变得简捷？解题过程是否拘泥于思维定势，照搬了熟悉的解法？通过这样的不断质疑、不断改进，解题过程会更具有合理性、科学性、简捷性。例1：求证：正四面体和正八面体相邻两侧所成的二面角互补。此题有常规的解题思路：分别求出两个多面体的二面角的值，再求和。这也是一般参考书上的解法。我们探索解题过程，总感觉这样解题很苯拙，不能反映两个多面体的巧妙结构。事实上，问题隐含了“结构”这个重要信息，那么，就可把“结构”作为切入点去探究问题。
4.重视知识的迁移和应用，探究问题所含知识的系统性。
解题之后，要不断地探究问题的知识结构和系统性。能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究？能否加强知识的横向联系？要把问题所蕴含孤立的知识“点”，扩展到系统的知识“面”。通过不断的拓展、联系，加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性。
5.整合知识，创新设问。
要让学生明白，问题与问题之间不是孤立的，许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间本质的联系，要质疑为什么有这样的问题？它和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发。要将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合，创造性地设问。让学生在知识联系和知识整合中，丰富认知结构中的内容，体验“创造”带来的乐趣，这对培养学生的创造思维是非常有利的。
6.探究规律，形成小结。
要对每个问题都要寻根问底，反思能否得到一般性的结果、有规律性的发现；能否形成独到的见解、有自己的小发明。点滴的发现，都能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣。长期的积累，更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成，增加其知识的存储量。
总之，教师应引导学生解题后不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并作出新的判断，让学生体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感。长此以往，学生会逐步养成独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件。
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