浅谈集合思想在中职数学教学中的应用
来源:用户上传
作者:
[摘 要] 很早之前，人类就学会把同一属性的事物或对象放在一起，作为讨论的元素，继而把一定程度抽象了的对象放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合作为系统性的知识是在高中才有了明确的定义，但作为知识系统其实在初中数学课本中就出现过，如：自然数的集合、有理数的集合、不等式解的集合等，那时学生并不清楚“集合”的概念。高中数学新教材里很重视“集合”概念，包括中职数学教材也是一样，都放在了第一章，可见其地位非同一般。集合思想是现代数学思想的一个重要标志，其符合近代数学发展的规律。可以说，集合思想是整个数学教学的基础，其本质是“分类”“求同辨异”，而“分类思想”是重要的数学思想，可以使复杂的数学问题化繁为简、化难为易，它不但是一种思想，更是一种工具，一种语言。
[关 键 词] 集合思想;中职数学;逻辑用语;不等式;函数
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）11-0224-02
一、集合的重要性
集合是数学的一个基本分支学科，在数学领域中占有独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论的创始人是德国的数学家康托，瑞士数学家欧拉最早使用了表示两个非空集之间关系的图，即“欧拉图”，英国数学家维恩最早使用了另一种图即可以用于表示任意的几个集合——“维恩图”。可以说，几乎现代数学各分支的所有成果都构筑在严格的集合理论上。在研究数学应用时，用图示法会使问题更明显直观，在中职数学的教学过程中，也许我们并没有向学生多作集合思想的解释，基本不提集合的重要性，但却多次强调集合图的重要性。其目的就是能指导学生看懂集合图的意思，根据集合图来解题或者帮助解题。将集合的作用放在实处，真正处理问题，也是现在数学学习的方向，特别对中职学生而言，更立体、更具操作性的题，才能使其更感兴趣。体会数学的实际应用性，感受数学的魅力，将理论与实践有效结合，也是中职数学教育的目标之一。
集合知识覆盖面是比较广泛的，可以说涵盖了中职数学中不等式、函数、数列和几何等知识的基础部分，因此集合知识的相关题目也是中职类学生在高考数学试卷上必定会出现的问题。打好集合的基础，让学生做题能“分门别类”，从而学会少做题、做精题，这也许就是最现实的一个应用了吧。但在实际的教学过程中，由于中职生的计算能力特别是一元二次方程等有关问题的解决能力较弱，刚开始学“集合的概念”时，涉及计算的不多，加上学生换了一个新的环境等各方面的因素，学习的兴趣会有一段时间的提升，当他们发现自己能看懂图示法，做一些简单的集合题，无形中便增加了学习的兴趣。但学过概念后，集合的知识就变得抽象、难懂，特别是与别的知识结合在一起，从而变得不好掌握。而且，由于中职数学的学习思想和学习方法与初中相比有很大的差异，包括学习时间、重视程度等各方面都有所不同，因此要把握好集合的兴趣，并应用于整个中职数学教学的过程中就显得任重而道远。
理清集合与中职数学教学之间的联系，对知识的系统性有一个更全面的了解，让学生的数学学习更具长久性，就需要来看看集合与中职数学教学之间的关系到底包含了几个方面，相互之间的联系与区别又是如何的。
二、集合与中职数学教学之间的关系
（一）集合与逻辑用语
集合与常用逻辑用语是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容。学习常用逻辑用语知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，提高使用数学符号、数学语言、数学方法进行推理判断的能力，要注意避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释。从知识上来看，集合间的运算有交集、并集、补集，了解命题的概念和命题的构成，掌握简单逻辑连接词“且”“或”“非”的含义。在实际做题时要能判断简单命题与复合命题的真假，这就需要注意知识宜从简，要从最基础入手，特别是命题的构成不能太多，否则作茧自缚。而良好的逻辑用语，则更有利于解决问题。
如何更好地保持学习的兴趣和激情，是每个教师的不懈追求，更是数学教师的最高目标。虽然我们身在中职学校，但面对知识系统掌握并不特别牢固的中职学生，渴望成长，渴望学习的心是一样的，一样希望学生学有所获。这就需要数学教师面对提出的问题，要迎难而上，勇敢地面对教学中遇到的各类问题，迎接巨大的挑战。如果能有效地把握集合与数学教学之间的关系，就能更好地保持学习激情，将逻辑思维用在实处，将会更有助于问题的解决。
集合在中职考试中的高考题型基本都是选择题、填空题，一般难度不大，但有时候在填空题中会以创新题型出现，难度稍高。因此在做题的过程中，能用图形语言、符号语言的尽量用这些语言，特别是图形语言，更直观、明确。可以说，数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，将逻辑用语与集合语言结合在一起，可以使教学内容简洁、准确，帮助学生用集合语言描述数学对象，用逻辑思维进行分析，将集合与逻辑放在一起，发展培养学生运用数学语言进行交流的能力。也可以说，在教学的过程中如何运用集合与逻辑用语这一对关系最为密切的朋友，使教师能轻松教，学生能轻松学，是值得深思的问题。一般遇到集合逻辑题，解题思路基本可以用数形结合法，常用的解题步骤可以分为（1）画图形;（2）定区域;（3）求结果。
（二）集合与不等式、函数
函数是中职生在学习数学过程中的遇到的一个比较困难的知识点。因为函数与不等式甚至与方程之间都是紧紧相连的。单从求解的结果来看，不等式的解集从函数的角度上理解，就是图像在横轴的上方或下方，而方程就是与横坐标交点的位置。在集合运算与不等式的联系问题中包括两类：一是不含参数问题直接求解;二是含参数问题，往往是等价转换集合的表示或化简集合，然后依据数形结合进行分类讨论。因此，可以说函数、不等式与方程之间是紧紧相依，相辅相成，它们之间浑然一体，利用函数图形中形成一个整体，也可以认为构成另一個体系——函数体。 可以说，函数是高中数学的核心概念，描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。特别是从现在高考的角度来看，比较注重实际的应用型的题，而函数就是不少现实问题的反映。有很多学生遇到函数题就觉得头痛，特别是有时那种变化关系找半天都没理清头绪。如果在函数体中用集合求同思想，即函数都可以用图像来描述其性质特征，如三角函数类问题，都具有一定的周期性，每个变化规律都在一个周期内进行，然后重复出现在下个周期内。因此，研究时只需关注一个周期即可，无论怎样变化，都根据图形来研究它的性质，只要了解其一个周期内的变化规律就可以了;又如指数函数、对数函数从图形中就能看出其联系与区别，掌握基本的图形，找出相同点和区别点，从而了解其性质特点，从容应对函数的各种变化情况。
现在的数学学习对中职生的要求越来越具体，也非常注重学生的数学思维能力，特别是求解函数类问题的能力。因此，函数类题型最常出现。函数的思维模式特别能在实际问题中体现，如打车问题、手机流量问题等，都可以用函数的形式进行求解。用集合求同辨异思维，把函数的实际应用与函数的具体求解放在一起，对函数而言，其本身的表示法就有图像法、方程法，把图像与方程结合在一起，能更有效地解决问题。按其性质进行分类，结合数形，一般都可以从图像上得到解决。
（三）集合与几何
几何对空间思维能力的培养具有重要作用，也是数学教学中一块重大内容，一眼看几何与集合似乎没有什么联系，属于不同的两块内容。但纵观几何与集合的发展史，我们发现其实从几何学和集合论公理的产生起它们就有联系了。我们知道在几何学与集合论中首先要涉及的就是公理，而公理在几何学中称之为平行公理，在集合论中则谓之选择公理。两者也是在相互怀疑否定之中成长、完善起来的。在平行公理与选择公理的分析中更是相互地渗透，可以说你中有我，我中有你。在发展的过程中，特别是在非欧几何学与非康托几何论中，两者的关系更进一步，都不约而同为解决悖论问题而形成。
几何主要有平面解析几何与立体几何两大部分内容，平面解析几何从直线、圆、椭圆、双曲线到抛物线，立体几何从空间的直线与平面的位置、角度关系到多面体、棱柱、棱锥等。几何是客观世界中平面及立体的图形，说到底也就是点、线、面之间的关系，线与面是点的集合。也许正是几何論理论体系已经比较完善，点与线、面，平面与几何之间的关系比较完整，各类成功的安全也是不胜枚举，因此在关注几何与集合的关系时，我们往往看不到集合的存在，忽略了集合在求解过程中的作用。其实通过实例，我们还是可以找到很多的相似点，如在直线的点向式、点斜式求解过程中，我们能发现它们的相似处，可以用集合的求同思想把它们放在一起。另外，也可以知道，几个点可以确定一个平面，点与线的关系，甚至由点线来确定一个面，相互之间求同存异，这样可以使问题更简单。集合与几何两者的关系也许有点微妙，它不显山露水，却海纳百川。
人类为了生存在进行不断的探索，在探索的过程中积累了各种知识，将知识按需要、类别进行分类，经过漫长的年代才有了现在的各大科。各科之间又有千丝万缕的联系，只要有一个学科发展积累到一定程度要变革，没过多久就会对别的学科产生影响。它们之间就是这样相互牵制、相互发展，可以说没有一门学科是孤立的。而这就是集合最朴素的思想——求同存异，在发展中相互促进，共同成长，形成更进一步的发展状态。
集合思想不仅适合于数学教育，更是别的学科的研究工具。大道至简，“求同存异”归纳分析，在解题的过程中，如果能将至简的理念运用到实处，将对中职学生的数学学习兴趣有很大的帮助。跳出数学高冷的面孔，由内心接受这门实用的学科，必将使学生受益终生。也许我们一直在说，没有砖瓦无以成大厦，但大厦至简就是砖瓦，要想使学生的兴趣保持下去，由繁返简很有必要，也许这样才能真正从简而繁，锦上添花。
参考文献：
[1]金成梁.集合思想[J].江苏教育，1995（1）：37-38.
[2]杨宏权.小学数学教学中集合思想的渗透[J].甘肃教育，2000（22）：66.
[3]吴杰，江丽丽.基于微信公众平台的微课程教学应用研究—以PhotoShop图像处理课程为例[J].智库时代，2017，22（12）：32-34.
编辑 李 静
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-14808905.htm
