选主元对称矩阵原位替换解算方法
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作者:黑龙
摘 要：系数矩阵为对称矩阵的矩阵方程的相关解算有多种方法，其中对称矩阵原位替换解算方法是较好的一种，而此法矩阵元素约化计算中要求矩阵主元约化值不能为零，当没有确认对称矩阵是否非奇异时，主元约化值等于零有可能由矩阵秩亏引起，也有可能由矩阵元素排列结构引起，怎样判定矩阵主元约化值为零的原因，排除矩阵奇异的情况下，怎样利用选主元对称矩阵原位替换解算方法继续完成相应计算，即是本文研究的重点。此解算方法可使对称矩阵原位替换解算得以更广泛地应用。
关键词：对称矩阵 秩亏判断 选主元 原位替换 快速解算
中图分类号：P207;O151.21 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2019）05（b）-0019-05
各专业领域的工程建设中存在大量的矩阵方程解算问题。由于解决的问题不同，组成的相应矩阵方程的系数矩阵排列形式多种多样，包括一般方阵、对称矩阵、三对角矩阵、对角矩阵、稀疏矩阵等等。为了提高解算效率，针对具有不同排列形式系数矩阵的矩阵方程的解算问题，人们进行了大量的研究，给出了很多解算方法，但无论是哪种解算方法，解算的基本要求都是方程系数矩阵为满秩矩阵。本文讨论系数矩阵为对称矩阵且其是否满秩未知的矩阵方程的解算问题。系数矩阵是否满秩，说明了矩阵方程参數之间是否相关，可以用矩阵方程系数矩阵的行列式值是否为零等方法进行判断[1]，如果不相关，可根据矩阵方程的具体形式，采用相应解算方法对其进行相关解算[1-6]。文献[2]和文献[3]中介绍的原位替换解算方法可提高解算效率，然而，其解算条件是矩阵主元约化值不等于零，若某个主元约化值等于零，矩阵（方程）无法解算。一般可逆对称矩阵约化计算过程中，有可能出现某个主元约化值为零的状况，怎样判别约化过程中相应矩阵主元约化值等于零是因矩阵秩亏引起，还是因矩阵元素排列结构引起，总结出判别方法，同步进行矩阵（方程）相关性判别和解算，就是本文讨论的重点。若约化计算中不出现矩阵主元约化值为零的情况，完成相关矩阵（方程）解算，若出现矩阵主元约化值为零的情况，则判断矩阵（方程）是否相关。如果相关，计算结束，否则，采用本文介绍的选主元对称矩阵原位替换解算方法继续解算，求得相应矩阵（方程）解算结果。
1 对称矩阵元素约化值计算过程中判断矩阵的秩亏性
设有对称矩阵：
参照文献[3]，对称矩阵元素约化值计算的相应公式
公式（1）中要求矩阵主元（即对角元）约化值不能为零，若其值为零，有两种可能：
一种是不仅矩阵主元约化值等于零，而且该列主元约化值下方其它元素约化值也均等于零。因为矩阵第i列元素约化值是矩阵前i-1列元素的函数，若此列所有元素的约化值均等于零，则说明该列元素与前i-1列元素线性相关，矩阵秩亏，其行列式值必为零，停止计算;另一种是矩阵中某列的主元约化值为零，该列主元约化值下方其它元素约化值不为零或不全为零的情况。这是因为矩阵元素排列结构引起，应该在解算过程中变换矩阵元素排列结构，用选主元方法继续完成相应计算，求得相应结果。
2 选主元对称矩阵元素约化值的计算
由（1）式计算对称矩阵元素约化值，只需用到对称矩阵下三角部分的元素，设对称矩阵N的下三角部分为：
再设交换对称矩阵N的i，j行和i，j列后的矩阵为N（i，j），仍保留其下三角部分，则交换i，j行和i，j列后矩阵下三角元素的变化规律如（3）式所示。
符号表示交换，阵中其它元素不变。
若设矩阵（2）第i列之前约化元素计算后的约化矩阵为，其第i列主元约化计算时，计算结果为零，则可按选主元约化计算方法计算，使其变为不为零，继续计算该列下方其他元素的约化值。通过选主元约化计算，如果该列其他元素约化值只要有一个不为零，就对该列之后的各列元素继续进行约化计算，直至求出约化计算结果。
所谓选主元即选约化计算过程中约化值为零的主元，交换矩阵的行和列变换主元元素，使变换后的主元约化值不等于零，通过选主元约化计算，求得变换主元之后的各矩阵元素的约化值。
假设表示矩阵的i-1列元素约化值计算结束后，交换矩阵i，j行和i，j列，继续进行约化计算所得的约化矩阵，将其称为选主元约化矩阵，矩阵中各元素的变化规律为：
（4）式中，符号表示交换，该矩阵中其它元素不变。
该矩阵的i-1列元素约化值计算结束后，交换矩阵i，j行和i，j列，继续进行约化计算所得的约化矩阵与先将原矩阵i，j行、i，j列交换再进行约化计算的约化矩阵结果一致，就是因为这一特点，使得选主元约化计算成为可能。由于没有进行约化计算之前不知道哪一列的主元约化值为零，所以只有在计算过程中才能确定i，对于j值的选择，要求它一定要大于i，也就是约化过程中还没有进行约化计算的列。
3 由选主元对称矩阵约化值计算矩阵行列式值
文献[3]给出了利用对称矩阵主元约化值计算矩阵行列式值的公式，此公式只适用于矩阵主元约化值不为零的情况，如果因矩阵排列结构引起某主元约化值为零，则可利用选主元的方法使其值不为零，继续完成相应约化计算，如果仍然用表示选主元后的矩阵主元约化值，那么利用选主元后的约化矩阵计算选主元后矩阵行列式的计算结果可表示为
再设交换i，j行后的单位阵为E（i，j）（下同），则将矩阵N的i，j行和i，j列交换后的矩阵可表示为： 据此可得
说明原矩阵行列式计算结果与选主元后矩阵行列式计算结果一致。
4 由选主元对称矩阵约化值计算矩阵方程中未知数的解
若设交换矩阵方程（NX=W）i、j行和i、j列后的矩阵方程未知数向量和矩阵方程常数向量分别为和，则有
上式两端左乘，顾及得
由（6）式和（8）式，可得行列变换后的矩阵方程为：
按原位替换解算方法可求得上矩阵方程的解，其中系数矩阵N（i，j）的约化矩阵Ny（i，j）中的各元素按（1）式求得，約化常数向量Wy（i，j）中的约化常数按文献[3]中给出的公式求得，即
矩阵方程未知数解向量中未知数的解按文献[3]中给出的公式计算，即
由（8）式第一式知，将利用选主元方法求得的矩阵方程未知数解向量交换其i，j行的元素即为原方程未知数向量的解。
5 由选主元对称矩阵约化值计算矩阵的逆阵
用选主元矩阵元素约化值，顾及nji·i=nji·（i-1）（i=1，2，…，t;j-i+1），根据文献[3]中给出的矩阵元素二次约化值计算公式
可求得选主元矩阵元素二次约化矩阵。
根据文献[3]中给出的矩阵逆矩阵元素计算公式
可求得选主元矩阵逆矩阵的下三角阵。
又由（6）式可得
上式说明将利用选主元约化值求得的矩阵的逆阵交换i、j行和i、j列后，即为原矩阵的逆阵。
6 算例
例1设有对称矩阵
用原位替换解算方法求矩阵行列式值
解：按公式（1）对矩阵N进行约化计算，前5列约化计算后的结果如下式所示
因阵中第5列元素约化值均为零，所以N阵的行列式值为零。
例2 设有对称线性方程组为
判断方程组是否有唯一解，若有唯一解，求其解，并求其系数矩阵的逆阵。
解：该方程的矩阵形式为NX=W
（1）矩阵方程的约化值和系数矩阵行列式值计算，判断方程是否有唯一解。
假设矩阵方程的增广矩阵为，其增广矩阵的约化矩阵为，则
根据公式（1）和公式（9）进行约化计算。由于第二列主元的约化值等于零，即，而该列约化值不为零，所以采用变换主元的方法继续进行约化。通过交换矩阵的2，4行和2，4列，得到选主元后的增广矩阵为
设其约化矩阵用表示，按公式（1）和公式（9）分别计算系数矩阵约化值和常数项约化值得
计算矩阵方程系数阵行列式值：
由于矩阵方程系数阵的行列式值不为零，所以矩阵方程有解。
（2）计算矩阵方程未知数。
设表示利用选主元增广矩阵按原位替换法求得的系数矩阵约化值和未知数解向量组成的矩阵，利用选主元增广矩阵元素约化值按（10）式可求得矩阵方程未知数解向量X（2，4），如下式所示
交换未知数解向量的2，4行得矩阵方程未知数的解为
（3）矩阵方程系数阵的逆阵计算。
由选主元后的系数矩阵约化值，根据（11）式求其二次约化值，其结果用表示
由选主元后的系数矩阵二次约化值，根据（12）式求选主元后系数矩阵逆阵下三角部分的元素，其结果用Q下（2，4）表示
将其全阵Q（2，4）的2，4行和2，4列交换，即按（4）式交换方式交换阵中相应元素，便得到矩阵方程系数阵逆阵下三角部分的元素。
将矩阵上三角对称位置的元素填满即为所求逆阵。
7 结语
本文讨论了系数矩阵为对称矩阵且其是否满秩未知的矩阵方程的解算问题;介绍了采用对称矩阵原位替换解算方法解算对称矩阵（方程）时，对称矩阵（方程）的有解判断和解算的方法，包括：
（1）对称矩阵某一列主元约化值为零时，根据该列元素的约化值是否全为零判断矩阵（方程）的相关性。如果相关，停止计算，如果不相关，用本文给出的选主元对称矩阵解算方法进行相关解算，将矩阵（方程）相关性判断和解算同步进行。
（2）由于对称矩阵元素排列结构的原因，可能出现可逆对称矩阵某主元约化值为零的情况，本文给出了针对此种情况的选主元对称矩阵原位替换解算矩阵行列式值、矩阵方程未知数和逆矩阵的方法，以及相应计算公式。
应该说明的是：解算过程中，经多次选主元（交换矩阵的行和列），矩阵行列式值的解不变;矩阵方程未知数的解，是将选主元解算求得的解向量中的未知数，按解算过程中各次交换矩阵行的次序逆序交换回来的结果;逆矩阵解算结果，是选主元解算求得的矩阵逆阵，按解算过程中各次交换矩阵行、列的次序逆序交换回来的结果。
参考文献
[1] 赵晓彬.计算方法[M].西安：西安电子科技大学出版社，1994.
[2] 黑志坚，黑龙.对角占优矩阵原位替换解算方法[J].吉首大学学报，2009（1）：5-8.
[3] 黑志坚，周秋生.对称矩阵原位替换解算方法[J].测绘通报，2009（1）：18-24.
[4] 关红钧，苏艳华.关于n阶矩阵的三角分解[J].沈阳航空工业学院学报，2001，18（4）：38-40.
[5] 苏岐芳.M-矩阵的三角分解性质[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2004，20（4）：31-33.
[6] 黑志坚.一种矩阵求逆方法[J].哈尔滨工业大学学报，2004（10）：1351-1353.
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