基于分数阶小波变换的水印方法
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安徽省 2016 年教育厅自然科学基金重点项目（KJ2016A671）。
摘 要
现有的小波域的水印嵌入算法具有复杂度高，嵌入水印后的宿主图像PSNR值相对固定等缺点。本文利用图像在分数阶小波域不同阶数下分解系数互异性特点，在低阶数下嵌入水印具有更好的不可见性和安全性，抗攻击实验表明本文方法具有良好的稳健性。
关键词
分数阶小波变换;水印;密钥
中图分类号： TN918 文献标识码： A
DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2020.03.016
0 引言
随着信息应用技术的迅速发展，引发出数字信息传输的信息安全及版权保护问题。数字水印技术是解决该问题的有效手段，通过确认或辨别嵌入于数字载体中的标识信息，来判断信息载体是否被改动，因此数字水印技术成为信息隐藏研究中的重要研究方向。变换域方法是水印嵌入主流方法之一，通过改变宿主图像变换后部分频段的一些系数值进行嵌入水印信息。目前变换域算法主要集中于离散傅立叶变换、离散余弦变换、离散小波变换及混合变换域方法等，通过改变宿主图像变换后部分频段的一些系数值进行嵌入水印信息，在实际应用中得到了广泛的应用[1-2]。但上述变换理论是基于时间-频率域的分析方法，因此变换系数上相对固定，在变换效果缺乏灵活性。为改变这一不足，本文采用具有时间-分数阶频率域特点的分数阶小波变换理论进行水印嵌入和提取研究。
1 分数阶小波变换定义
将传统的时间-频域特征的小波理论推广至时间-分数阶频率域，可得到具有时-分数阶域局部化特征的新型FRWT：
Wp，t（α，a，b）=?f（t）dt=e?f（t）·edt
此处，ψ（t）=eψ
为分数阶小波变换算子核，α=pπ/2分数域与时域的夹角，p为FRWT的阶次，ψ（t）为WT母小波，a，b分别为尺度因子和时移因子。当p=1，α=π/2时，ψ（t）退化成小波变换算子核ψ（t），Wp，t（α，a，b）退化成小波变换表达式。
图像的FRWT涉及水平和垂直的阶数p1，p2，为研究问题方便，本文取p1=p2=p∈（0，1]。在该范围内，图像FRWT变换随着阶数p值的变化，图像变换系数在不同子带上能量的聚集度、系数的稀疏性都发生变化[3-4]，充分利用不同阶数p下变换系数互异性、非稀疏性等特点，来提高水印的安全性、鲁棒性。
2 水印嵌入方法
首先对文中符号做如下定义：I-原始图像;W-水印信号;IW-含水印图像;key1-水印密码变换阶次p。原始图像和水印图像的大小满足N=2n×M1，n为整数。本文原始图像I大小选取512×512，水印图像大小为64×64，n=3。
2.1 嵌入流程
步骤1 水印图像预处理。为保证安全性，首先对水印信息W先进行Arnold 变换Wa，降低水印像素之间的相关性。
步骤2 对原始图像I以阶数p作j层分数阶小波变换，且第j层各子带的大小与水印大小相同。本文取j=3，将产生9个高频子带（LHK，HLK，HHK，K=1-3）和1个低频子带（LLj，j=3）。将水印信息通过下式嵌入宿主图像I中，其中为a缩放因子。
WCA3=CA3+a*wa，
步骤3 将嵌有水印的子带WCA3与其他子带进行p阶分数阶小波逆变换，对重构的实部和虛部求模，得到嵌入水印的图像Iw。
2.2 提取流程
步骤1 对含水印的图像Iw和不含水印的宿主I图像进行阶数p分数阶小波变换，作3层分数阶小波变换，选取含有水印信息子带及原始图像分解后的对应子带CA3，通过下式提取出水印信息。
Wa=（WCA3-CA3）/a
步骤2 对FW求模后对其进行反Arnold变换，得到提取的水印。
2.3 实验结果
本文以Lean图像为宿主图像，嵌入水印大小为64×64 Flower水印图像，随机选取阶数p=0.424，实验结果如图所示。其中，嵌入水印后的宿主图像PSNR=41.5258，水印相似度NC=0.9999。实验结果表明本文方法的可行性。
3 阶数p对主客观评价的影响
宿主图像的分解系数受阶数p变化而改变，直接影响到嵌入水印后宿主图像的PSNR值以及提取水印的NC值。为找出选取p值合理范围，本文在（0，1]内选取均匀选取p值进行嵌入和提取水印实验，并记录相关数据。
从实验结果可以看出，p值在1附近时，PSNR和NC值相对较小，表明宿主图像加入水印后透明度较差，提取水印质量上欠佳;当p值变小，PSNR和NC值逐渐增大并趋于稳定，表明宿主图像加入水印后透明度较好，提取水印质量上得到提升。产生上述现象的原因是由于在p=1附近，宿主图像在进行FRWT变换时分解的系数特点与小波域变换特点相似，即低频分量上模系数体现图像的主要部分，系数值较大，若将水印信息直接嵌入低频系数上，就会造成PSNR降低。在p值变小时，图像分解后高、低频分量均有非稀疏性特点，低频分量模系数有所下降，在嵌入水印后PSNR值得到提升。从上可知，在本文方法上嵌入水印倾向于选择低p值。
4 密钥的敏感性分析
阶数p值的可变特点为本方法提供了一种密钥，而密钥的敏感性为水印提供了安全保证。若密钥key发生错误时，水印载体图像在进行相应DFRWT和DFRFT变换时不能获得正确的分解系数，造成水印提取失败，系数差别越大，正确提取水印可能性就越低。若错误密钥与正确密钥之间的变化扰动量（p值变化量）非常小，但引起分解系数差别很大，密钥的敏感性就越强，对应密钥范围就越大。分析过程如下： 选取不同p值，并改变提取时p值为错误密钥p’，并分析变化的△p=|p’-p|值的大小。此处以提取出水印的相似度NC=0.6值为标准，在高于该值时，认为提取出有效水印;NC值低于该值，就认为水印提取失败。本文分别选取p=0.9，0.09，0.009，0.0009作为已知密钥，实验测得为△p=0.03，0.005，5e-5，2e-7。说明△p值随着p值的减小而减小，说明在低p值下密钥范围更广。这是由于p值低时，对不同的p值对应着不同调制频率。在1附近时，调频率较小，调制前后子带模系数变化较小，改变△p后，子带系数值变化相对缓慢些，密钥敏感性就弱些。p值变小时调频率变高，一旦p有个很细微的变化，子带模系数及相位变化却是很大的，所以低p值的密钥具有很强的敏感性。图2表示出p=0.0009时，密钥正确p’=0.0009时（图b）和密钥错误时p’=0.0009002提取水印图。可以看出，调频率稍有变化（△p=2e-7）就无法完全地提取出正常水印。
图2 密钥敏感度实验
5 鲁棒性分析
本文采用剪切、噪声、压缩、模糊、滤波等常见攻击进行鲁棒性测试，表给出了不同攻击情况下提取水印相似度比较值，NC值越高表明该方法能够抵御各种攻击，其稳健性越强。实验结果如图3和表2所示。
表2 不同攻击情况下提取水印NC值
测试结果表明，处旋转攻击效果稍差外，宿主图像在剪切、噪声、压缩、滤波等攻击后均能较好地提取水印，表明本文方法具有良好的抗攻击能力。
6 结论
本文利用图像在分数阶小波变换在不同p值下的系数互异性特点，研究了基于该变换的水印方法。实验表明低p值下本文方法含水印宿主图像具有更好的透明性，同时具有更高的安全性。抗攻击实验表明本文方法具有良好的稳健性。
参考文献
[1]黄达人，刘九芬，黄继武.小波变换域图像水印嵌入对策和算法[J].软件学报，2002，13：1290-1297.
[2]黄继武，ShiYunQ，程卫东.DCT域图像水印：嵌入对策和算法[J].电子学报，2000，28（4）：57-60.
[3]徐小军，王友仁.基于离散分数阶正交小波变换图像降噪新方法[J].电子学报，2014，42（2）：280-287.
[4]徐小军，王友仁，陈帅.基于下采样分数阶小波变换的图像融合新方法[J].儀器仪表学报，2014，35（9）：2061-2069.
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