自主探究 解决教学难点
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作者: 王旭飞 韩守信
【教学内容】
“球面距离”选自全日制普通高中《 数学》第二册第九章第十一节。
【课堂实录】
（教师拿着地球仪走进教室，立即引来学生们好奇、疑惑的目光）
师：在日常生活中，常常见到飞机总是沿着某一航线飞行，这是为什么呢？下面请同学们思考这样一个问题。（放多媒体投影，在地球图片的“上海”、“洛杉矶”、“阿拉斯加”三点闪烁）
上海靠近北纬30°、东经120°的A点，洛杉矶靠近北纬30°、西经120°的B点，试具体解释为何东方航空公司的飞机由上海飞往洛杉矶要飞经美国的阿拉斯加？（阿拉斯加在上海的东北方向，接近过A、B的大圆）
生1：飞机在绕远道。
生2：飞机应该说没有绕远道，那样会浪费时间和燃料。
生3：可能是因受到气流的影响吧？
师：试想飞机选择航线的主要标准是什么？
生：航程（距离）尽可能短。
师：那么怎样的航线距离最短或尽可能短呢？
（大家沉思，突然一学生回答）
生4：最好是飞机能穿过地球，沿直线飞行。
（学生们哄堂大笑）
师：不错，可惜现在还没有发明这样的交通工具，现在还做不到。（教师接着引导）大家知道，飞机是沿着地球表面飞行的。现在，哪位同学能够到前面利用这根细铁丝在地球仪上度量一下上海到洛杉矶的最短距离？
（同学们讨论一会儿后，一个学生到前面来多次测量，最后得出结论）
生5：细铁丝在北纬30°略偏上时最短。
师：很好。这就是关于地球上两点间的最短距离问题，也就是球面距离。（学生沉思，同时在多媒体屏幕上打出“上海到洛杉矶”的最短距离线段，并闪烁）
师：哪位同学能说出以前我们接触过的“距离”有哪些？
生6：点与点、点到线、点到面、两异面直线距离。
师：有哪位同学还能补充？
生7：两平行线间的距离，平行于平面的直线与平面的距离，两平行平面间的距离。
师：很好。有哪位同学能说出他们有何共同点？
生8：都是线段长，具有最小的特性。
生9：具有唯一性。
师：很好。还有补充的吗？
生10：好像都是直的，没有弯曲的。
师：不错，这些距离与球面的距离相同吗？
生11：不同，前面所学距离是一条线段的长，而球面距离是一条曲线线段的长。
师：很好，要使球面距离具有最小的特性，谁能想个办法来说明一下？
（经过部分学生讨论，有一位学生到黑板上进行了说明）
生12：以线段AB 为弦作出了若干个圆，并说明较大圆中AR 弦所对的弧的长较小。
生13：这两点弦所对的圆上弧有两段，应该指出是劣弧。
师：非常好，请继续观察一下地球仪，谁能猜想球面上两点间球面距离的本质？
（经过同学们议论、商讨）
生14：在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这条弧长叫做两点间的球面距离。
师：很好。清楚了两点之间的球面距离，谁能回答为什么由上海飞往洛杉矶要飞经美国的阿拉斯加？
生15：飞机航线确定的标准是沿着球面距离，这样飞行距离最近，还节省燃料。
师：非常好。
（教师再不失时机地问：设地球半径为R，谁能求出上海到洛杉矶的球面距离)
生16: （到前面板演）
求出AB 两点的距离：|AB|=(3/2)R2,
再求出球心O与AB 两点的夹角余弦：
Cos∠AOB ＝-1/8,
即球心角∠AOB ≈1.696,
由弧度制定义：球面距离AB=1.696R。
师：做得非常正确。谁能总结出求球面距离的一般步骤呢？
生17：先求球面上两点与球心连线所夹的球心角α的弧度，再利用球半径R乘以α。
师：很好，有谁能说出球面上“任意两点”有几种情形？
（经过同学们讨论、思考）
生18：可以是经度相同纬度不同，也可以是纬度相同经度不同，还可以是经度纬度都不同，共三种情况。
师：很好，哪位同学具体地叙述一下上面三种情况的求法呢？
（经过一段时间的思考）
生19：求经度相同纬度不同的两点间的球面距离的方法是，将纬度差的绝对值乘以地球半径；求纬度相同经度不同的两点间的球面距离的方法是，先求纬度圈（小圆）中的弦长，再在大圆中求出这两点的球心角，化为弧度，再利用1＝αR 可求得；求经纬度都不同的两点间的球面距离的方法是，用异面直线上两点间的距离公式求出弦长，再求出这两点球心角，化为弧度，再利用1＝αR可求得。
师：非常好。希望同学们重点掌握前两种情况的求解方法，对第三种情形不作硬性要求。
师：谁能说明求两点间球面距离的关键？
生20：求出过此两点的大圆的劣弧所对的圆心角（球心角）。
师：很好。
【小结】
这节课我们通过探索，明确了飞机航线的最小性，并探索出了求球面上任意两点球面距离的方法。希望同学们在掌握这些知识的同时，注重学习方法的归纳和积累，在今后的学习中发扬探索的精神，提高创新能力。
【点评】
“球面距离”与其他“距离”有本质的不同，很抽象，学生难以掌握，是数学教学上的难点之一。而这节课通过对“上海到洛杉矶航线”这一实际问题的研究，深入浅出地介绍了“球面距离”，使学生很自然地感悟到了它的实质，解决了教学上的难点。教师不失时机地再次提出问题，“求上海到洛杉矶的距离”，再次点燃了学生探究的欲望。学生在探究的同时，较好地掌握了球的有关知识和性质的应用, 进一步熟悉了球的距离、球心角、弦、球半径之间的关系。这样做，既圆满完成了本节课知识内容的教学任务，又培养了学生动脑动手、自主探索解决问题的能力，将会对学生以后的学习起更好的作用。
（责任编辑：梁 媛）
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