转化思想在立体几何中的运用

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　　[摘   要]运用转化思想，将立体图形平面化，几何问题代数化，特殊图形一般化，线线、线面、面面位置关系的相互转化，能有效解决立体几何问题.
　　[关键词]立体几何;转化思想;运用
　　[中图分类号]    G633.6        [文獻标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）08-0029-02
　　解决立体几何问题，贵在转化.学会转化，是学习立体几何的根本所在.转化思想是解决立体几何问题的“根本大法”.那么，立体几何中的转化思想主要体现在哪些方面呢？
　　一、立体图形平面化
　　将立体几何问题转为平面几何问题来解决，这种“降维”思想，是解决立体几何问题始终如一的原则.如立体几何的最值问题，往往利用侧面展开图，转化为平面上的最值问题.又如，与球有关的相切、相接问题往往可转化为平面上的圆的相切、相接问题.
　　点评：（1）解决空间几何体表面上的最值问题的一般思路是：将空间几何体的“面”展开后放在一个平面上，于是立体几何的问题就转化为了平面上的最值问题.
　　（2）如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.如果是圆柱、圆锥，则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.
　　二、几何问题代数化
　　在立体几何的有关计算问题中，往往可将变量间的关系转化为方程或函数关系，从而将几何问题代数化，即将几何问题转化为代数问题解决.
　　点评：对于第（1）问，要求圆锥的体积，必须先求出底面圆的半径和圆锥的高，于是通过建立方程组来求得，体现了方程思想在立体几何中的应用.在第（2）问中，四面体体积的大小取决于[AD]的大小，于是把[AD]看成自变量[x]，将四面体体积转化为函数问题，进而通过求函数的最值求得四面体体积的最值，体现了函数思想在立体几何中的应用.
　　三、特殊图形一般化
　　在求几何体的体积时，我们常常会遇到一些不规则的几何体，这时通常采用“割补法”将不规则的几何体转化为常规的简单几何体.
　　点评：割补法适用于求不规则几何体的体积， 就是通过对不规则几何体进行切割或是补体，将其转化为常见的多个或一个规则几何体，再利用这些规则几何体的体积之和或是差来表示该几何体.这种解题思想体现了特殊向一般转化的原则.
　　四、线线、线面、面面位置关系的转化
　　在立体几何证明中，无论是线面平行与垂直，还是面面平行与垂直，都是通过线与线的平行与垂直来转化的，这种“三维”向“二维”转化为“降维”思想，是平行与垂直的关系证明的最基本的思想方法.在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从中架起已知与未知之间的“桥梁”.在讨论平行与垂直关系时，应注意用“线线平行[?]线面平行[?]面面平行”与“线线垂直[?]线面垂直[?]面面垂直”进行双向转化，即注意有关判定定理与性质定理的联袂使用，尤其是性质定理的应用，一直是高考命题的热点.
　　点评：立体几何证明题，是历年高考必考题型，难度不大，命题者一般不会在试题的难度上下“猛药”，而是处处考查考生的转化思想，如要证线垂直于线，常常通过线面垂直转化，要证线平行于面，常常通过线面平行或面面平行转化.
　　转化，是数学解题的主旋律，尤其是对于立体几何来说更是如此.只要掌握好转化的方法与技巧，那么立体几何问题真的可以成为“送分题”.
　　（责任编辑 黄桂坚）
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