对分课堂模式在高中数学教学的课堂实践

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　　摘 要：对分课堂核心是一半时间老师教，一半时间学生研。保留老师讲授这一传统教学的精华，保证了知识传递的系统性、准确性和有效性，但并不穷尽内容，留给学生进一步主动探索的空间，引发学生主动对问题进行数学抽象性、数学建模和逻辑推理，培养学生理性的数学思维。
　　关键词：对分课堂;核心素养;理性思维
　　对分课堂模式的核心理念是把课堂的时间一半分给教师精讲，另一半分给学生讨论，使讲授法与讨论法两者长短互补。这种新型教学模式理念深刻、简明易用，变学生被动学习为主动学习，全面培养学生科学精神、学会学习和实践创新等核心素养。在高中数学课堂中逐步形成和发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养。
　　一、 对分课堂与传统课堂的比较
　　笔者所在课题组在开展课堂教学中“学与教”方式的改革探索实践中，借鉴目前国内近十种教学改革模式，最终形成以“小组合作学习”为立足点，探索“先教后研，对分课堂”高效高中数学课堂教学模式。该模式分教师精讲、自主学习、自主练习、小组合作学习、交流展示、共同提炼六个关键环节，其中“小组合作学习”过程是重点环节。对分课堂分“当堂对分”和“隔堂对分”，其核心是一半时间老师教，一半时间学生研;有时可以把教授和研讨的时间隔堂错开，让学生在课后有一段时间自主学习，加强对知识的理解记忆。在传统课堂上，教师讲授力求完整详尽，学生没有发挥余地，趋向被动接受。在高中数学对分课堂上，老师有引导，但并不穷尽内容，留给学生进一步主动探索的空间，能够引发学生主动对问题进行数学抽象性，根据自主学习进行数学建模和逻辑推理，有效培养学生理性的数学思维。对分课堂保留老师讲授这一传统教学的精华，保证了知识传递的系统性、准确性和有效性。对分课堂提高了学生的课堂参与度，教师化灌输者为引导者角色。其实老师讲得少，更要求教师讲得精、控得稳，因此教师地位和价值不但没有削弱，反而得到进一步的提升，更能赢得学生的尊重。
　　二、 以“空间向量的基本定理课”为例
　　 教师用PPT展示共线向量的概念、共线向量定理及其推论和共面向量定理：
　　如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使p=xa+yb
　　证明：（必要性）设向量a，b不共线，p与向量a，b共面，根据平面向量的基本定理，一定存在实数x，y使p=xa+yb。（充分性）设存在实数x，y使p=xa+yb。取空间任意一点M，作MA=a，MB=b，MA′=xa，A′P=yb，则MP=xa+yb=p，于是点P在平面MAB内，向量p∥平面MAB。即p与向量a，b共面。
　　推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x，y，使MP=xMA+yMB ①或对空间任一点O，有OP=OM+xMA+yMB或OP=xOA+yOB+zOM，（x+y+z=1）
　　上面①式叫做平面MAB的向量表达式。
　　教师讲授时从学生认知出发，通过学生已学的知识，抽象出研究对象，理解揭示数学中的本质。两个向量共线，其中一个向量能用另一个向量表示且表示形式唯一。那么，平面任一向量能用两个不共線的向量表示，且当不共线向量确定时，表达形式唯一。那么空间向量可以由几个向量表示，表达形式唯一吗？
　　为了能让学生用科学方法探索规律，教师在讲授过程中要让学生体会数学研究对象的抽象和严谨的逻辑推理论证的过程。这样不仅可以提升学生学科核心素养，而且在这类型问题上找到了知识积累、知识迁移和知识创新的方法;为学生自主学习指明了方向。
　　学生基本能够类比共线向量和平面向量的基本定理的思想对表达空间任一向量做出猜想：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。学生通过小组合作学习、讨论和交流展示综合得出如下结论：
　　（存在性）设a，b，c不共面，
　　 过点O作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p;
　　过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点P′;
　　在平面OAB内，过P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别与直线OA，OB相交于点A′，B′，于是，存在三个实数x，y，z，使OA′=xOA=xa，OB′=yOB=yb，OC′=zOC=zc，
　　∴OP=OA′+OB′+OC′=xOA+yOB+zOC
　　 所以p=xa+yb+zc
　　（唯一性）假设还存在x′，y′，z′使p=x′a+y′b+z′c
　　 ∴xa+yb+zc=x′a+y′b+z′c
　　∴（x-x′）a+（y-y′）b+（z-z′）c=0
　　不妨设x≠x′即x-x′≠0，∴a=y-y′x′-x·b+z-z′x′-x·c
　　∴a，b，c共面此与已知矛盾。由此定理，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
　　值得一提的是，对分课堂模式给学生充分时间思考。学生在探求新知时，储备了大量的结论和疑问，学生参与课堂讨论、展示成果的热情高涨，在智慧与智慧的碰撞下会得到许多精彩的结论。比如：
　　讨论出空间向量的定理推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP=xOA+yOB+zOC。
　　探究出多维空间向量表达的内在联系和本质：二维空间里，任一个向量可以被不共一维空间的两个向量表达;三维空间里，任一个向量可以被不共二维空间的三个向量表达;同理可推导，N维空间里，任一个向量可以被不共N-1维空间的N个向量表达。且表达形式唯一。
　　三、 结语
　　对分课堂教学模式输入—内化—输出的学习过程与数学知识认知理解—知识迁移—实践创新的生成发展过程是高度一致的。由教师提问过渡到学生自主提问，显得更为尊重学生。从学习效果看，对分模式的讨论是延时讨论，无论是在隔堂对分还是当堂对分中，学生都有充分的准备和内化吸收的时间。这样可以加深学生对知识的理解和掌握，提高沟通交流能力，培养科学理性思维，激发学习数学的热情，最终促进学生学科核心素养提升。
　　作者简介：
　　 唐震，福建省三明市，三明市第九中学。
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