案例教学在高等数学课程中的作用
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作者: 王艳艳 廖大庆 王淑玲
摘 要: 高等数学是一门抽象的学科,教师在教学中有效地利用案例,不仅可以激发学生的兴趣,培养学生解决问题的能力,而且能培养他们的数学思维,提高他们的数学素养。
关键词: 高等数学 案例教学 作用
如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干的主要部分就是微积分。这体现出了微积分的重要性,以及它和各科之间的关系。学生一进大学就会接触到高等数学,这种课程设置当然有其道理:为了与他们在高年级将学的一些课程的衔接等。但是,学生因为在入学前对大学所学的难度都突然加深了的各门课程还处于陌生与被动状态,尤其是当接触到较初等数学更为抽象的高等数学,还欠缺更高层次的抽象思维能力,加上高中时候的学习方法已不再能对付大学课程,所以一开始学的时候就有吃力的感觉,接受新知也较为被动。我结合自己的教学经历,谈谈案例教学在高等数学课程中的作用。
一、在高等数学中恰当地讲授数学史
数学科学作为一种文化,不仅是整个人类文化的重要组成部分,而且始终是推进人类文化的重要力量。著名的哲学家A.Whitehead在批评以往思想史家们忽视数学的地位时,曾打了一个比喻来说明数学是人类思想史的要素之一。他说:“假如有人说:编著一部思想史而不深刻研究每一个时代的数学概念,就等于是在《哈姆雷特》这一剧本中去掉了哈姆雷特这一角色,这一说法也许太过分了,我不愿说得这样过火。但这样做却肯定地等于是把奥菲莉这一角色去掉了。奥菲莉对整个剧情来说,是非常重要的。”
在教师教学里,引进与主题相关的数学史题材,对学生的学习会有很正面的意义,不仅能调动学生的学习热情,而且能协助学生将抽象观念具体化。因为不论在科技应用层面或思想突破方面,数学重要概念的演进确有其实用面的意义,因此具有启发性的数学史方面的教学实属必要。在高等数学的教材中我们会接触到一些根本重要性的定理和概念。如牛顿―莱布尼兹定理、拉格朗日中值定理、傅立叶三角级数等。这些定理和概念的学习不仅对于学习高等数学知识来说是重要的,而且对于提高数学素质也是极其必要的。它们是微积分的精华,是高等数学教学的必讲内容。这些定理和概念大都是以重要数学人物的名字命名的,他们也恰恰是微积分的创立者和先驱。这就提醒我们在课堂教学过程中适当地加入先驱们的生平和业绩的介绍,让学生可看到数学的发展是曲折的,一个重要概念的产生是离不开实际问题的,只要对实际问题进行精力的思索,就可以找出问题的本质,抽象出数学思想。并且从先驱们的言行里学生能感受到科学家的治学态度和对知识的执着追求,这往往能激发他们刻苦钻研、勇往直前的奋斗精神。教师不仅能在有限的时间里完成教学任务,而且可以起到提升学生的学习兴趣,传递数学思想的作用,对课堂教学起到了画龙点睛的作用。
二、通过实际例子来激发学生的兴趣
真正有意义的数学,是由直观想象与演绎推理相结合而创造出来的。高等数学有着完整的系统性和逻辑性,它始终遵循着源于个体,拓展个体,最终又回到个体,解释个体的认识原则,比如我们所熟知的导数和定积分的概念。所以高等数学概念的形成也总是源于实际,高于实际,而又立足于实际。我们通过一些实际的例子,不仅可以激发学生学习的兴趣,而且可以拓展学生的视野,可谓一举两得。
美伊战争给人们带来太多的震撼。从2003年3月20日正式爆发,到4月11日美军攻占巴格达。进攻者以区区十万余人的军队,在二十几天的时间里,几乎没经过像样的战斗就完全征服了一个世界中等军事强国。不少人觉得美伊战争不像一场战争,而更像一场游戏。
而事实上并不奇怪,美军打的是一场由数学支撑的信息化战争。汤姆逊说:信息不仅仅是一件武器,它还是一种能够改变战争文化和定势的新技术。它能改变一切。它所带来的变化比我们看到的任何一种变化都来得强烈,比坦克、潜艇甚至原子弹都要厉害。在今天的战场上,谁拥有绝对的信息掌控权,谁就能获得胜利。美军在美伊战争中通过数据链把天空地海、本土统帅部、前方司令部和战场上每一个士兵连为一体,反应灵敏,随心所欲,以最短的时间、最小的代价、最快的速度、最大的战果,赢得胜利。
通过介绍这个案例,相信学生对数学的重要性会有个大概的了解,数学不是与实际毫不相干的,而是紧密结合在一起的。
三、在教学中巧妙地穿插数学模型的相关知识
数学模型是能使数学与生活相联系体现数学的工具。建立模型需要一定的生活情景作为依托,学生能体会到实际情景中的数学,在建立模型,形成新的数学知识的过程中,学生能更加体会到数学与大自然和人文环境的自然联系。
例如数学模型在求二元函数的通常极值与条件极值,Lagrange乘数法,以及最小二乘法在数学建模中应用也广。在教学过程中,教师应注意培养学生用方法解决实际问题的能力。此外,常微分方程还是不同专业的大学生在高等数学中共学的内容。如何建立常微分方程,解常微分方程是建立数学模型解决实际问题的有力工具。为此,在传统数学课程教学中,花时间讲如何在实际问题中提炼微分方程并且求解,能培养学生提炼问题本质的能力。例如流言蜚语问题、养老保险问题、疾病传播问题等,都可以利用常微分的知识建立一些最基本的模型。再比如,1990年伊拉克点燃了科威特的数百口油井,浓烟遮天蔽日,美国及其盟军在发动“沙漠风暴”以前,曾严肃地考虑点燃所有油井的后果。据美国《超级计算评论》杂志披露,五角大楼要求太平洋―赛拉研究公司研究此问题。该公司利用Navier-Stokes方程和有热损失能量方程作为计算模型,在进行一系列模拟计算后得出结论:大火的烟雾可能招致一场重大的污染事件,它将波及波斯湾、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部,但不会失去控制,不会造成全球性的气候变化,不会对地球的生态和经济系统造成不可挽回的损失。这样才促成美国下定决心。教师通过运用高等数学知识解决实际问题,可以让学生充分感受到数学的重要性。
参考文献:
[1]J.N.Kapur.数学家谈数学本质.北京大学出版社,1989.
[2]A.N.Whitehead,Science and the Modern World.Cambridge University Press,1932.
[3]王树禾.数学思想史[M].北京:国防工业出版社,2003.
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