向量的应用

来源:用户上传      作者:

　　摘 要：向量是近代数学中最基本、最重要的概念之一，就来源而言，向量的概念来自对物理学中的力、速度以及加速度这一类矢量的研究。
　　关键词：向量 三角 立体几何 解析几何
　　由于向量具有大小和方向，而我們的学生对数及其运算较为熟悉，而在学了向量后，思维得以开阔，可使学生增长知识，对数及其运算的认识加深了一步，更重要的是由于向量具有的几何形式与代数形式的双重身份，使它成为中学数学的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。为学习三角、复数、几何等作了准备。
　　一、向量在三角中的应用
　　当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量。利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。由于用向量解决问题时常常是以三角形为载体的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明：只要在向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证明要简便得多。
　　二、向量在代数中的应用
　　向量作为工具性知识已列入中学教材之中，其应用价值已被广大师生认可。用向量知识解题，方法新颖、运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一。但向量是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。根据复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数。这样复数的加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数事实上已没有太多的实质性内容。因而变选学内容也就不难理解了。另外我们在求一元函数的取值范围时，往往利用重要不等式或一元二次函数的性质，而当函数中含有根式时，问题就要复杂得多，这时巧妙运用“向量数量积小于等于向量的积”这一性质，可得到求解的新方法。在不等式的证明、求解无理函数的最值中运用向量性质1、 若，则，当且仅当时等式成立；性质2、，当且仅当同向平行时右边等式成立，反向平行时左边等式成立。就可以较灵活地给出证题方法，求出函数的最值。
　　三、向量在立体几何中的应用
　　在解决几何中的有关度量、角度、平行、垂直等到问题时用向量解决也很方便。特别是平面向量可以推广到空间用来解决立体几何问题。例如在空间直线和平面这部分内容中，解决平行、相交、以及计算夹角、距离等问题用传统的方法往往较为繁琐，但只要引入向量，利用向量的线性运算及向量的数量积和向量积以后，一切都归结为数字式符号运算。这些运算都有法则可循，比传统的方法要容易得多。如：在立体几何中求二面角平面角的大小时若用传统方法进行求解的话，要求同学们有很强的空间想象能力，并且要求同学们能找到或根据三垂线定理作出该二面角的平面角，而这也是最难的地方。若用向量的话，只需建立空间直角坐标系，找到各点的坐标，利用向量的数量积算出平面和的法向量的夹角从而求出二面角的平面角。大大降低了同学们的空间想象，使教学中的难点得到突破。
　　四、向量在平面解析几何中的应用
　　由于向量作为一种有向线段，本身就是有向直线上的一段，且向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联系。平面直角坐标系内两点间的距离公式，也就是平面内相应的向量的长度公式；分一条线段成定比的分点坐标，可根据相应的两个向量的坐标直接求得；用直线的方向向量（a ， b ）表示直线方向比直线的斜率更具有一般性，且斜率实际是方向量在 a = 1时的特殊情形。另外向量的平移也可用来化简二次曲线，即通过移动图形的变换来达到化简二次曲线的目的，实际上与解析几何中移轴娈换达到同样的效果。
　　总之，平面向量已经渗透到中学数学的许多方面，向量法代替传统教学方法已成为现代数学发展的必然趋势。向量法是一种值得学生花费时间、精力去掌握的一种新生方法，学好向量知识有助于理解和掌握与之有关联的学科。因此新教材中加入向量这一章的教学，为更好地学习其它知识做好必要的准备工作就显得尤为重要。但传统教学思想对向量抵触较大，许多教者认为向量法削弱了学生的空间想象能力，且学生初学向量时接受较为困难，这就要求我们不断探索，找出最佳的教和学的方法，发挥向量的作用，使向量真正地面为现代数学的基础。
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-14817238.htm