过渡曲面生成算法探究

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　　摘 要：本文主要介绍了几种过渡曲面生成算法的特点、应用范围、优缺点，包括滚球法、偏微分方程法、能量构造法、蒙皮构造法和基于裁剪线的过渡曲面构造法，以期为相关学者的研究提供借鉴。
　　关键词：过渡曲面;滚球法;偏微分方程法
　　中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2019）02-0044-03
　　Research on Surface Smooth Mosaic Method
　　Absrtact： This paper mainly introduced the characteristics， application scope， advantages and disadvantages of several transition surface generation algorithms， including ball rolling method， partial differential equation method， energy construction method， skin construction method and transition surface construction method based on clipping line， in order to provide reference for relevant scholars.
　　Keywords：transition surface;rolling ball method;partial differential equation method
　　典型的过渡曲面生成算法主要有滚球法、偏微分方程法、能量构造法、蒙皮构造法和基于裁剪线的过渡曲面构造法。由此，本文主要对过渡曲面生成算法的特点、应用范围、优缺点进行分析[1]。
　　1 滚球法
　　1984年，Rossignac和Requicha提出滚球法。滚球过渡是两片参数曲面间构造过渡曲面的经典方法，这样所生成的过渡曲面和原曲面间是Gl连续的[2]。该方法可以看作是用一个球，沿着两个过渡基曲面滚过，球滚过所形成的包络线就是过渡曲面，滚球中心所走过的曲线被称为脊线，而滚球与原基曲面相切的地方在滚动过程中所走过的曲线就是过渡切触线，滚球法后来发展出了常半径滚球过渡法和变半径滚球过渡法[3]。
　　常半径滚球过渡法的特点是球在滚动时，球的半径不发生改变，形成的过渡曲面截线都具有相同的曲率。用这种方法来构造过渡曲面，首先要计算两基曲面与过渡面的偏移半径，设偏移半径等于球的半径，然后计算待拼接面与偏移面间的切线。切线就是滚球的中心线，也是过渡曲面的脊线。令滚球与两基曲面相交的点为[C0和C1]。基曲面[S0（u0，v0）]在[C0]处的切平面为[Q0]，基曲面[S1（u1，v1）]在[C1]处的切平面为[Q1]，球心为O，则过[O，C0，C1]点有平面[Q2]，那么[Q0，Q1，Q2]相交于[C2]点，再以[C0，C1，C2]为控制定点来构造如下的二次截线[4]：
　　[Kα=ω0（1-α）2C0+2ω11-ααC2+ω2（α）2C1ω0（1-α）2+2ω11-αα+ω2（α）2]           （1）
　　變半径滚球过渡法的特点是滚球在滚动过程中，滚球的大小是变化的，但用变半径滚球过渡法构造过渡曲面时，其脊线[P（u）]和半径函数[F（u）]都是已知的，存在：
　　[Gu/Lu≤I]                                （2）
　　构造过渡曲面时，首先根据已给定的初始脊线[LO（u）]和半径[G（u）]，接下来调整初始脊线的位置使其与两基曲面间等距，调整后的初始脊线称为等距线[L（u）]，最后通过等距线来确定过渡曲面。
　　2 偏微分方程法
　　偏微分方程法（PDE）在几何造型中的最初应用就是构造过渡面[5]。该方法具有以下优点：曲面由其参数的超越函数表示而并不是简单的多项式，因此生成的曲面自然光顺;构造过渡曲面简单易行，只需要给定边界曲线和跨界导矢就可以生成光顺的过渡曲面;除边界曲线和跨界导矢外，也可调整方程中的一个物理参数来调整曲面的形状。偏微分方程法受到了很多人的关注，又相继发展出许多新的PDE求解过渡曲面方法，如Lihua.You先后提出的四阶偏微分方程法和特征函数法。
　　3 能量构造法
　　能量构造法是在偏微分方程法基础上发展出来的一种方法。1987年，加拿大学者Terzopoulos等将基于物理能量模型的可变形曲线曲面造型技术引入计算机图形学中，使用物理能量模型来创建一个微分方程，引入约束处理和外载荷。此外，增加几个补充条件，对这个方程进行一些变化，最后使用数值积分的方法来对这种物理能量模型所构造出的微分方程进行求解。之后，Celniker.G和Gossard.D又进一步优化了这一方法，他们把能量模型设为目标函数，将特征线作为约束加到补充函数里去，这样在加上外载荷以后就可以对所构造的曲面进行较好的调整和控制。
　　简言之，能量构造法就是将曲面看成是弹性变形的薄壳，引入能量泛函，通过某些力学原理建立变形曲面的控制方程，然后引入一定的数值方法求解满足一定约束条件的数值解[6]。把在待拼接面的过渡切触线及其在待拼接面上的法矢和其他边界线作为约束，采用基于物理的曲面造型技术来生成过渡曲面，再通过数值分析的方法来求解能量曲面的型值点，进而得到过渡曲面。 　　曲面能量泛函公式为：
　　[Esur=α11w2u+2α11wuwv+α11w2v+β11wuu+2β12wuv+β22wvv-2wfu，vdudv]（3）
　　4 蒙皮构造法
　　蒙皮构造法是在高级制造业中应用相对较为广泛的拼接方法，其是通过一个拓扑点阵，或者离散的点云，或者截面曲线来构造一个光滑的曲面，这种方法在数学上就是通过在这些点阵和截面曲线间插值来构造过渡曲面，其可以简单地想象成在一组曲面上蒙上一层光滑的曲面。这一方法最早是由Woodward提出的，他指出，蒙面就是在通过一组有序的截面曲线间插值来拟合一张曲面，这个过程就如在建造机翼时在骨架上加上一层蒙皮，这样机翼蒙皮就称为扫掠曲面[7-9]。
　　5 基于裁剪线的过渡曲面构造法
　　这种基于裁剪线的过渡曲面的构造法，生成的过渡曲面是不沿着基曲面的过渡切触线与基曲面连接在一起，而是通过基曲面上剪裁线来进行连接的。这种方法较为灵活，但算法却相当复杂。
　　在使用这种方法时，先在两个基曲面确定两条剪裁线，随后依据这两条剪裁线来构造脊线，最后计算出过渡面的截面曲线，从而得到想要的过渡面。在使用时，也可以跳过计算脊线的步骤直接构造过渡面。
　　基于剪裁线的过渡曲面构造法主要有Koparkar.P提出的方法和Filip.D.J提出的方法。由Koparkar.P提出的方法中，脊线是辅助曲面的交线，而这个辅助曲面可以是由基曲面的法线是沿裁剪线活动的轨迹生成的，随后依据脊线和剪裁线可以计算截面曲线，最后用这条截面曲线扫掠即可得到过渡曲面[10-12]。
　　而由Filip.D.J提出的方法中，所生成的过渡面的构造函数为：
　　[Bs，t=H1sC1t+H2sC2t+H3sT1t+H4sT2t]（4）
　　式中，[Hjs，j=1，…，4]是三次埃尔米特插值多项式，[Cit，i=1，2]是裁剪线。方向矢量[Tit]为[C2t-C1t]在[Cit]基曲面的切平面上的投影。
　　6 曲面的光顺
　　由于曲面拼接的广泛应用，拼接之后对曲面的光顺处理也就被重视起来，如何对其形状进行调整就变得尤为重要。Hagen通过能量最小法对曲面进行光顺处理。曲面的形状由控制点决定，随意对曲面进行光顺处理时，只需要考虑控制顶点的位置[7]。由于测量方式和造型手段的局限性，所以，基于逆向工程重构出来的曲面的光顺程度可能会不满足需求，需要通过曲面光顺来提高逆向工程曲面的品质。
　　Farin Sapidis提出的节点去除算法是一种实用性很强的光顺算法，通过节点去除可以减少冗余的数据，并用于三次样条曲线的局部光顺，通过移动节点，提高曲线在节点处的连续率，从而达到光顺。Pigounakis约束算法是全局算法中较有代表性的，给定某个约束条件，限定控制顶点的扰动量，结合此约束条件给出能量函数，通过能量函数最小化解得新的控制顶点。此算法能一次对整条曲线进行光顺，但其缺点是需要求解优化方法。
　　在实际应用中，存在只有个别控制点不光顺的情况，如果使用全局光顺，将会产生大量不必要的计算，而且会修改不需要被修改的控制点。由此，局部光顺法应用而生，在每次的光顺处理中只修改少数控制顶点，采用最优化方法对其进行调整，而其他控制點不发生改变。
　　局部光顺法有判别和修改两部分。坏点的判别有两种方式：①坏点由用户决定，这称为交互方式;②坏点由程序来决定，通过制定的光顺标准，程序将自动决定坏点，这称为自动方式。坏点的修改：当前主要的修改方法是Kjellander法。曲线不光顺性的主要原因是三阶导数的不连续性，可将控制点修改至一个更好的位置，使其三阶导数差为0，进而达到光顺。
　　7 结论
　　目前，曲面拼接在实际生产和生活中的应用越来越广泛，曲面拼接的研究也如火如荼地进行着。因此，不同种类的拼接方式和拼接算法的需求不断提高，选择一个较为可行的曲面构造模型尤为关键。本文主要分析过渡曲面生成算法的特点、应用范围、优缺点，以期为学者选择合适的曲面拼接方式提供借鉴。
　　参考文献：
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