高考试卷“集合的基本运算”试题赏析
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摘 要：近几年来，天津市高考理科数学卷第I卷中选择题的第一题均是涉及集合的试题，涉及集合的形式与构成、集合的基本运算，包括并集，交集、补集。这类试题简单易懂，需要学生细心作答，是比较容易的得分题，并且能很好地考查学生对基础知识的掌握情况，渗透数形结合的数学思想，提高学生的数学关键能力和数学核心素养。本文研究2015-2018年的理科天津理科卷选择题中集合試题，边赏析其中所蕴含的数学思想方法、数背景、解题规律，给出集合学习的建议;边寻找集合思想在解题中的应用。
关键词：高考试题;集合语言与思想;集合运算
集合就是把人们直视的或思维中的某些确定的、容易区分的对象放在一起。集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。德国数学家康托尔奠定了集合论的基础，后人到1920年确立了集合论在现代数学理论体系中的基础地位。[1]2015-2018年的试题中涉及知识包括集合语言、元素与集合间的关系、集合的基本运算，集合与不等式、一次函数间关系，考察的形式是用不等式或一次函数的形式表示集合中元素，若元素是连续的，可用数轴表示，若元素是一些正整数可用Veen图表示，以达到简便的目的。题目都非常注重渗透数形结合的思想方法。
一、学习集合知识的四点体会[2]
要想学好集合，首先，要深刻认识到集合元素的含义与表示，众所周知，集合是由许多个元素组成的，所以在学习集合之前，我们要了解集合元素的含义。一般情况下，集合都是通过图示法、描述法、列举法等方法来表示;其次，要学会正确的判断集合是否可以成立，集合各个元素之间具有三个特点：互异性、无序性、确定性，学生在学习集合的过程中，可能由于没有充分认识到集合元素之间的互异性（即一个给定集合中的元素是互不相同的，也就说集合中的元素不可重复出现），对答案没有进行验算，导致答题并不正确。并且，空集是集合中最特殊的集合之一，学生在处理集合和集合之间的关系时，没有认识到空集的性质（空集是所有集合的子集合），所以可能导致解题考虑不全面。所以学生要深刻认识到空集的性质和集合各个元素之间互异性的特点;正确了解集合间的基本关系，要正确认识子集、真子集、集合相等的概念，最后学会集合的基本运算，学生首先要了解并集、交集以及补集的概念，才能进行集合的运算，并集为A∪B={x|x∈A，或 x∈B};交集为A∩B={x|x∈A，且 x∈B};补集为UA={x│x∈U，且xA}。在学习集合的过程中，学生要注意以上几点体会，细致的研究，逐步加深对集合各知识点的理解，从而更好地学习集合。
二、集合思想在高中数学中的应用
集合思想在高中数学中有着非常重要的作用，主要体现在以下三个方面。
（一）集合与高中数学各知识点的联系[3]
集合是学生进入高中后，需要学习的第一个概念，可见其重要性，同时它也是学习后续内容的基础。比如，①集合与函数：集合是学习必修1函数内容的基础，在表示函数定义域、值域，描述函数性质时，都用到了集合的知识。②集合与排列组合及概率：概率问题较为复杂，学生难于理清题目思路，这时运用集合思想，就能巧妙地将题目中的限制条件转换成集合运算，探求题目各条件间的关系，将题目化难为易。③集合与不等式：集合与不等式密切联系，它是学生学习必修5中不等式的基础，学生要学会用集合的方法来表示不等式解集，使不等式的解集变得更简捷。④集合与解析几何：集合沟通了数与形的内在联系，在选修2-1 中圆锥的轨迹方程也是一些点构成的集合，如：椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，其中F1，F2为两固定的点。这使得由某个图形给出的点集和满足某性质 P 的实数对组成的集合建立起一一对应的关系进而使数学中的几何问题代数化，因此集合在解析几何中有着广泛的应用。⑤集合与立体几何：集合知识也是必修2立体几何的基础，我们知道“点集构成线，线集构成面”。我们在学习立体几何中的点线面的关系时，用集合可以简单明了地表示出其包含关系，如：{点}∈{线}，{线}∈{面}，这为学生学习几何知识做了铺垫。
（二）集合思想在数学解题中的应用
从教育视角看，数学思想方法要与数学知识相比，数学思想方法更重要。因为数学知识是稳态的，它的记忆量也是有限的，只能使学生一时受益，而数学思想方法是发展中的，学生掌握了学习数学的数学思想方法就可以按照这个方法独立探索更多新的知识，将使学生终身受益。因此，我们认为数学思想方法的培养比知识的教授更为重要，数学思想方法的掌握对任何实际问题的解决都是有益处的，所以数学教学必须注重数学思想方法的培养。[3]集合思想是现代数学思想向中学渗透的重要标志，在解决某些数学问题时，若运用集合思想，可以使问题解决变得更简单、明了。①运用子集思想，[4]关于 x 的不等式|x-（a+1）2/2|（a-1）2/2与 x2-3（a+1）x+2（3a+1）0（a∈R）的解集分别为A 和 B，求使 AB 的 a 的取值范围。运用子集概念求解，②运用交集思想已知不等式lg（20-5x2）>lg（a-x）+1的整数解只有 1，试求 a的取值范围.运用交集概念求解。③运用并集思想过点 M（0，1）作直线，使它被两条已知直线 L1：x-3y+10=0 和 L2：2x+y-8=0 所截得的线段AB 被点 M平分，求直线L 的方程，运用并集概念求解。④运用补集思想。
（三）集合基数公式在中学数学中的应用[5]
一般地，对任意两个有限集A，B，有Card（A∪B）=Card（A）+Card（B）-Card（A∩B）。
参考文献：
[1]杨梅.集合思想在高中数学中的应用[J].数学学习与研究，2016（15）：91-93.
[2]周存旭.高中数学中集合学习的四点体会[J].数学学习与研究，2015（19）：45.
[3]杨梅.集合思想在高中数学中的应用[J].数学学习与研究，2016（15）：91-93.
[4]涂典波.浅谈集合中的数学思想及应用[J].成才之路，2007（14）：37.
[5]戌健君.集合基数公式在中学数学中的应用[J].数学通报，2001（10）：24-25.
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