案例教学法在现代控制理论课程教学中的应用
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作者:张启敏 马婧英 王战平
摘 要 现代控制理论课程具有较强的多学科交叉性和理论性。针对数学专业的研究生教学中存在的问题，从案例教学方法的设计、培养研究生阅读和查阅文献能力的培养以及编写教材三方面进行了论述，把基础理论知识和控制理论的学科前沿应用到教学实践中，使案例教学更能够弥补课堂教学的不足。
关键词 数学专业 案例设计 控制理论课程
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2020.02.054
The Application of Case Teaching Method in the Course of Modern Control Theory
ZHANG Qimin， MA Jingying， WANG Zhanping
（School of Mathematics and Statistics， Ningxia University， Yinchuan， Ningxia 750021）
Abstract The course of modern control theory has strong interdisciplinary and theoretical characteristics. In view of the problems existing in the graduate teaching of mathematics major， this paper discusses the design of case teaching method， the cultivation of graduate students' ability of reading and consulting documents， and the compilation of teaching materials. It applies the frontier of basic theoretical knowledge and control theory to the teaching practice， so that case teaching can make up for the deficiency of classroom teaching.
Keywords mathematics major; case design; control theory course
在经济高速发展的现阶段，对培养创新性人才的高校提出了更高的要求。如何培养具有创新能力的研究生，这就给研究生培养的工作者提出了新的问题。现代控制理论是运筹学与控制论学科的主要课程，通过该课程的学习要求学生首先掌握基本的理论知识，其次是应用计算机编程技术解决实際的最优控制问题。在我们在人才培养过程中发现，控制理论与应用的教材主要针对工程专业的，所包含的例子包含了工程方面的知识和背景，[1]作为数学专业的学生对建模机理难以理解。另一方面，所学知识学生不能够灵活应用解决实际问题。这些问题都会影响人才培养的质量，更不利于创新型人才的培养。[2]如何培养符合当今社会发展的人才成为许多从事研究生培养的工作者的主要任务，同时也符合创新型国家建设的战略目标。本文基于近十几年的现代控制理论教学的教学实践，提出创新能力的人才培养模式。
1 现代控制理论课程教学存在的问题
（1）数学专业二级学科运筹学与控制论所招收的研究生本科阶段都是学数学专业的学生，这些学生普遍动手编程能力弱，计算机编程技术差，缺乏工程技术专业背景;（2） 重点侧重于理论教学而忽视了实践教学;在课程教学安排方面，大部分数学专业的研究生陪养过程中都缺乏实验教学;（3）基础知识理论掌握不扎实，对其它相关课程的理论和概念不了解，例如泛函分析、矩阵理论等知识很多学生本科阶段没有学过;（4）主要是工科教材，而针对数学专业学生的教材却很少;（5）内容多课时少，作为专业必修课，其课时为48学时，而教学内容的特点是信息量大、理论抽象、涉及知识面广、内容丰富、具有较大的难度和理论深度。
2 创新性能力培养教学模式的设计
在现代控制理论教学中，要设计一套有利于改变学习方式、提高学生分析问题和提升探索问题能力的研究性教学方法。具体来说包括以下三个方面内容：
2.1 案例教学方法
现代控制理论是一门理论性很强的课程，其中包含了众多数学公式、定理和方法，学生往往感觉到抽象难掌握。[3]即使理论能够理解了，但要解决一个具体的实际控制问题，常常不知道如何下手。在教学中我们设立了多个案例，包括最大捕鱼量、投资风险控制、人口的最优控制等。考虑到数学专业的特点，结合教师的国家自然科学基金等项目的内容，也可以把项目的内容融入到案例教学中，如荒漠化最优控制的研究、蔬菜种植喷洒农药控制研究、退耕还草机制下天然草场的最优刈割以及金融资产的最优比例等问题。
案例一：在流行病控制中
（1）
我们目标函数
（2）
其中和分别表示易感者、感染者和恢复者的数量，表示失去免疫力的康复个体回到易感人群的比率，为易感者转为感染者的转移系数，为人口的自然死亡率，为疾病导致的死亡率，为心理干预对感染者影响的参数，为感染个体的自然恢复率，为易感染者的输入率。为控制疾病的经济投入，u（t）为控制疾病采取的策略，I（）表示T时刻感染者的数量。我们的目标是使得目标函数J达到最小。 通过引入的实例来源于社会的实际问题和我们的生活，这更有利于学生掌握理论知识，增加学生的学习兴趣。
2.2 通过网络平台提高研究生文献的阅读能力
研究生培养的目标是培养具有创新能力的人才，这就要求研究生在学习过程中结合讲授内容阅读一些专业文献，一方面能够了解学科前沿和最新的学术动态，另一方面，通过查阅和阅读文献也可以对基础知识和理论有了更深入的理解。这也是研究生必须具备的基本技能。在控制理论的教学过程中，教师应该把与教学内容相关的题目发到微信群里，让每个学生查阅相关的文献，然后把查阅的文献上传到网络平台分享给大家，教师利用课堂讨论的形式让每个人进行讲解，或者通过网络教学的方式进行讨论。
2.3 根据不同需求选择教学案例库
案例教学也就是让学生以一个具体的问题为背景，针对问题的实际意义，通过对问题的分析、讨论以及查阅相关文献，运用掌握的知识和方法分析和解决问题，从而达到提高学生创新能力和解决问题的能力。因此，案例的选择应该具有真实性、应用性、代表性和前沿性，既与教学内容联系紧密又能反映学科前沿的应用案例，能够满足教学过程中由浅入深的知识结构和理论体系、尽量覆盖已学内容的各个知识点，同时针对不同需求的学生设计不同层次的案例。从专业方面来分，运筹学与控制论专业的案例应多注重于理论型的金融资产风险控制和流行病最优控制，应用数学的学生应更多地侧重正倒向方程解的存在性以及动力学行为的教学案例设计，计算数学的学生侧重于最优控制的数值计算方法的案例设计。例如，结合国家自然基金项目“基于噪声影响的种群系统最优控制理论与数值算法研究”，针对不同专业的学生设计了若干案例。
案例二：考虑如下形式的随机种群发展系统：
（3）
其中表示年龄， 表示时间，为种群的密度;表示出生率;表示死亡率;为收获率（控制变量）;表示外界环境对系统的扰动，确定性的扰动，随机的扰动。
目标函数：
（4）
通过上述模型，针对不同层次的学生设计有以下几方面的内容。
（1）最优控制的存在性，根据极大值原理和微分方程的理论，研究年龄相关随机种群系统最优控制存在的充分条件和必要条件。
（2）最优控制的数值计算问题（即正倒向随机种群系统数值计算）。
（3）利用随机动态规划原理，可得到Hamilton-Jacobi-Bellman方程，研究最优控制存在的充分必要条件。
（4）具有脉冲影响的种群系统最优控制存在的条件。进一步讨论正倒向随机种群模型和Hamilton-Jacobi-Bellman方程数值计算。
上述问题还要把随机微分方程和数值计算的相关理论以及相关文献上传到网络平台，以便学生讨论。
3 编制适合数学专业的现代控制理论案例教材
在目前教材的基础上，从基础知识方面来说增加泛函分析和矩阵理论的内容，从学科前沿发展方面来说，增加near-optimal控制，一致控制、同步控制等内容及案例。让学生不断了解学科最新的发展动态，培养学生探索问题的能力，同时在教材中增加实验内容，把案例教学融入到实验教学中，提升学生的编程能力和利用所学理论解决实际问题的能力。
4 结束语
案例教学是采用启发式教学方法，利用网络平台把具体的实际案例引入到整个教学过程中，把问题引入、理论的建立、研究思路与方法作为课堂讲授的重点，将学科发展的新理论、新方法、新思路、新问题融入到教学内容里，在交叉学科出现的新问题驱动下培养学生的创新能力和学习兴趣，拓展学生的思路，激发学习主动性。以案例助推教学，以科研支撑人才培养，丰富最优控制理论的内容的内涵，以具有实际背景案例为分析目标，将课堂理论知识与新型人才培养模式结合起来，形成完整的人才培养体系。
基金项目：自治区高等教育教学改革研究与实践项目，项目编号：12-1279
参考文献
[1] 唐超颖，姜斌，齐瑞云.“现代控制理論”课程研究性教学方法初探[J].电气电子教学学报，2018.40（6）：83-85.
[2] 薛文涛，吴晓蓓，朱志宇.面向行业特色的“现代控制理论”课程改革探讨[J].电气电子教学学报，2010.32（2）：17-19.
[3] 刘莫尘，娄伟，李扬，宋成宝.控制理论类课程的案例法教学设计[J].农业工程，2018.8（7）：110-112.
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