MKT视角下的中学数学课堂教学
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作者:李雪
摘 要：“MKT理论”是指学科内容知识和教学内容知识，是数学教学中的重要指导理论。在实际的教学当中，通过MKT框架对教学内容的各类成分进行分析，并且在实际的教学中结合MKT的理论认识对整个教学过程进行分析，能够使数学教师在数学内容及学生之间架构起一个更好的认知桥梁，以使课堂教学可以达到高效率。
关键词：MKT; 数学教学; 知识课堂; 教学分式方程
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2019）8-037-002
近年来，数学教学知识（Mathematical Knowledge for Teaching，简称为MKT）已经成为数学教育界研究数学教师的一个热点。美国密西根大学的Ball教授及其研究团队在前人的研究基础上不单从理论方面研究数学教学知识的框架，而且从教学实践的需求出发，采用质与量相结合的研究方法，提出了MKT的分类。Ball团队提出，面向教学的数学知识分为学科内容知识、教学内容知识两大类别，并且把学科内容知识分为数学水平内容知识（horizon content knowledge， 简称为HCK）、一般内容知识（common content knowledge， 简称为CCK）、专门内容知识（specialized content knowledge，简称为SCK）三部分，把教学内容知识分成内容与学生知识（knowledge of content and student，简称为KCS）、内容与教学知识（knowledge of content and teaching，简称为KCT）以及内容与课程知识（knowledge of content and curriculum，简称为KCC）三部分。[1]
本文以《分式方程》一课的教学为例，以MKT的框架为理论依据，在理清知识内涵和分类的基础上探寻中学数学教师在课堂教学中涉及到的MKT的组成，并通过课堂教学录像对每个环节的细节进行编码分析，提出数学教师应该重视的课堂教学的关注点，这对于数学课堂教学有十分直接的指导意义，还可以促进数学教师对教学分析、学生思维的分析以及反思教学等技能的发展。
一、研究对象与工具
本文研究的对象是盘锦市某中学的八年级数学教师所讲授的《分式方程》的一节课，主要过程如下：
1.通过一个实际生活中的情境问题引出分式方程，观察列出的分式方程，由学生归纳出其共同点，最后教师给出分式方程的定义。
2.教师说明分式方程定义的实质，让学生对于分式方程的定义愈加明确，并由例题判断是否为分式方程，将定义分解成学生容易理解的知识。在课堂活动中教师分析学生的错误因由，进一步深化学生对分式方程定义的了解。
3.教师先要求学生依据刚才黑板上列出来的分式方程对例题中分式方程的解法进行分组讨论，师生探讨交流多种解法，得到的去分母最好的办法就是“方程两边同时乘以最简公分母”，即通過去分母将分式方程化作整式方程（一元一次方程）求解。
4.探索解分式方程的一般步骤是本节课的重点，因此教师引导学生思索解分式方程的各个步骤，再和学生共同总结了解分式方程的一般步骤。
5.结合实际应用问题，让学生体会分式方程的意义。
本文采用课堂观察法和录像分析法，使用MKT的理论框架对该教师本节课的课堂教学表现进行分析。
二、MKT各子类表现分析
1.数学水平内容知识（HCK）
HCK包含着不同数学知识在课程中的联系和同一知识与后面出现的概念之间的联系。[2]具有良好的数学水平内容知识的教师有能力处理好中学数学知识和大学数学知识之间的联系，也会用发展的眼光看待不同阶段呈现的数学概念。
本节课教师做到了注重知识间的承接，也强调了知识脉络间的联系，从而帮助学生架构起一个系统的数学知识体系。在课堂教学中，该教师通过不断地回顾之前学过的与分式方程相关的知识来体现“联系”，让学生从中领会数学知识是有一个体系的。[3]
经过分析发现，该教师具有把控数学知识整体视角的能力，能够使学生在课堂活动中不断体验知识间的联系性，也能够将数学知识相互联系起来。但不足之处是仅仅在纵向联系方面表现良好，缺乏了对横向的其他学科之间联系的关注。
2.一般内容知识（CCK）
CCK是指和教学法无关的“纯”数学知识，可以经过教育学习获得的数学知识和技能。具有良好的数学一般内容知识的教师应该是熟练掌握分式方程的解法及运算的，并且在其他关于数学的计算方面也应该熟能生巧，不容易出错。本节课中该教师对分式方程的概念和解法十分熟悉，能够熟练地进行分式方程的运算。
3.专门内容知识（SCK）
SCK是指教师特有的有关数学教学的数学知识与技能，专门内容知识要求教师熟知数学中的各个知识点的由来及其发生发展的过程，并能有意识的将自己理解掌握的知识“拆解”成学生容易理解的知识，教师还应具有诊断学生错误的原因。
本节课教师对于学生在课堂上提出的预设外的问题能够灵活地选择教学方法，让学生容易理解并接受，在课堂教学中能够精确地揭示出分式方程定义的本质，经历判别是否是分式方程，教师将定义拆解成学生能够理解的知识，并且能够分析出学生错误的因由，使学生可以从本质上了解分式方程的定义。
经分析可知，该教师的专门内容知识的整体表现较好，但在学生提出与众不同的创新解法时，没有给予适当的关注。
4.内容与学生知识（KCS）
KCS主要是指教师对于学生学情的分析，以及教学重、难点的把握情况，教师有能力辨别出学生对哪些数学知识内容易曲解以及学习艰难，对于学生的思维方式及易错误的知识能有预见性，并采取相应的应对措施。 在本节课中，教师能够精确地掌握教材的重点及难点。教学重点是学会解分式方程的一般步骤，教学难点是理解分式方程的增根。教师认为分式方程解法的一般步骤学生很容易学会，但对“分式方程的增根”会让学生觉得比较难理解，从而降低学生的学习积极性。在教学中教师本节课还是很关心学生对分式方程定义的理解，因此将学生容易感到疑惑的问题呈现在例题之中，再由师生之间的互动，使学生认识自己的错误，以此深化学生对分式方程定义的理解。[4]在学生提出某些欠缺考虑的想法时，教师能够依靠所掌握的知识去理清学生的思路，从而可以使学生理解得更加全面。
分析发现可知，教师无法完全预测学生的课堂表现状况，但是成功地预测了学生的难点，说明该教师教授关于分式方程的内容学生已大概掌握，但还有可待完善的地方，如对于学生课堂可能发生的错误无法全面预测。
5.内容与教学知识（KCT）
KCT是指综合内容与教学两方面知识。教师进行教学设计时，应该思考选出哪些例子融进课程能够让学生更加深入地思考内容，也应判断出在教学中数学概念不同的表征和不同方法程序的优点与缺点。[5]在特定内容的课堂教学中，以学生为主体，由教师主导课堂，决定何时提出问题、何时组织讨论、何时陈述总结，以便做出更清楚的解释，促使学生更深入地思考等。
本节课教师选用教材的例题没有依据学生的认知水平及自己对教材的解读对例题进行改编。本堂课的教学重点是解分式方程的一般步骤，在教学中教师强调了怎样列分式方程，相对不够突出重点，在教学方法上，课堂以讲授法为主要方法，使得“以学生为主体”没有过多地体现出来。在学生做题之前，该教师多次引导学生记住解题的一般步骤，提高了学生解题的正确率，但与此同时也限制了学生的思考空间，导致学生的学习太按部就班。但在例题设计的顺序上，该教师所设计的例题呈现出明显的梯度性，紧抓学生的易错点，并且经由学生的互相评价来纠正错误并改正。
分析上述情况，在本节课中该教师在教学设计中看得出体现了“思考选出哪些例子融进课程，能够让学生更加深入地思考内容”，培养了学生的思维能力，表明该教师教学知识水平还是较高的。
6.内容与课程知识（KCC）
KCC是指特定内容教学在各个学段课程中的编排。教师应该理解课程具有发展性，KCC要求教师在理解新课程标准的基础上深度地挖掘教材、熟悉教材的编排体系、摸清教材编写者的意图，也应该了解本节课程内容在教材中所占据的地位及作用是怎样的。[6]
针对本节课而言，教师应当知道分式方程的教学安排在哪个学段，在教材中，有关分式方程的各部分内容是如何编排的，考察教师怎样安排分式方程的发生与发展，具有着良好内容与课程知识的教师，对于教学内容应当了然于心，对教学过程应有充分的准备。从课前知识的预设到课程的实施，再到课后的巩固与练习，教师都应保持着清晰思路。
本节课教师通过一道经典數学题引出分式方程，在教学中穿插了以前学的整式方程的定义，把现有知识和之前的知识相融合，形成一个体系，这样做既有助于理解新的知识、又促进了学生对知识的掌握。之后，该教师运用两组分式方程的对比，引导学生自主发现分式方程的特征，并且由学生交流探讨分式方程的概念及解法，最后师生共同总结。这是本节课的教学重点，因此教师在这里用了大量的时间让学生通过自主发现理解知识的本质，将课堂的主动权还给学生，培养学生自主学习以及合作交流的意识，提高学生探索问题的能力。
通过分析发现，该教师能够引导学生以核心知识（分式方程的概念及解法）为结点，建立知识的多元表征联系，建构课程内容间的联系，以帮助学生突破难点，但因为对课堂探讨时间及课堂节奏把握不够，导致本节课发生拖堂的情况。从总体上来说，在本节课的教学过程中，该教师的KCC的知识水平整体表现较好，但还有一定的提升空间。
三、研究结果
综合这一整堂课来看，该教师在本节课的MKT整体表现并不是尽善尽美的。从MKT的各知识的子类别上看，该教师的CCK水平明显高于HCK、SCK、KCS、KCC和KCT五类水平，教师没有出现数学知识错误。[7]而本节课的KCS水平明显低于其余五类的水平，教师没有具备完全预测学生表现情况的教学眼光。虽然该教师在MKT的某些分类下的表现不令人满意，但是教师的个人经验也弥补了课堂中的一些缺陷，使得课堂呈现较为完整。
决定一堂课教学效果的因素虽然不止是MKT所包含的这些，还跟课堂氛围、学生的配合度以及教师的个人素养等因素有关，但是MKT的框架可以用来指导教师上课，也可以用作评课的一种框架。将MKT理论与课堂教学紧密联系起来，以MKT的视角对学科的教学进行研究既具有理论意义，又具有实践意义。
参考文献：
[1]庞雅丽，李士锜.职前数学教师MKT现状的调查研究[J]数学通报，2012，51（08）：8-12+16
[2]庞雅丽.美国MKT研究的缘起、发展及启示[J]外国中小学教育，2013（06）：36-40
[3]徐章韬，顾泠沅.面向教学的数学知识[J]教育发展研究，2011，31（06）：53-57
[4]曹一鸣，郭衎.中美教师数学教学知识比较研究[J]比较教育研究，2015，37（02）：108-112
[5]陈艳.初中教师面向教学的数学知识现状的案例研究[D].四川师范大学，2016
[6]洪燕君.HPM教学实践驱动下初中数学教师专业发展研究：MKT的视角[D]华东师范大学，2017
[7]Ball， D. L.， & Bass， H. （2000）. Interweaving content and pedagogy in teaching and learning to teach： Knowing and using mathematics. In J. Boaler （Ed.）. Multiple
perspectives on the teaching and learning of mathematics （pp. 83–104）. Westport， CT： Ablex
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