高中数学解题教学中类比思维的应用探研
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作者:丁红梅
摘 要：类比思维是一种十分重要的数学思维，在数学解题过程中应用广泛。运用类比思维解题，可以加强学生对于新概念的理解，激发学生的学习兴趣。文章主要分析类比思维在高中数学解题教学中的應用。
关键词：高中数学;解题教学;类比思维;学习兴趣
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2019）30-0056-02
类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动，属于一种综合性的解题思维，可以有效提高学生的解题能力。高中数学是一门逻辑思维比较强的学科，要求学生拥有灵活的思路与多变的思维，对解题方法与解题技巧进行充分的运用。虽然数学题目具有多样性，但是其中蕴含的数学原理是不变的，因此教师需要运用类比思维，让学生在解题过程中将相似的数学知识点通过比较理解其异同，从而加深学生对数学知识的掌握，保证学生解题的高效性。本文从以下几方面对高中数学解题教学中如何应用类比思维进行论述，以促进学生思维能力提高，培养学生的数学核心素养。
一、运用类比思维培养学生数学核心素养
新课程标准提出了数学学科核心素养主要包括六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析。核心素养是指学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。核心素养不是简单的知识或技能，是以学科知识技能为基础，能满足特定现实需求的综合表现，如逻辑推理是学生解题中需要具备的一项能力，包括类比、归纳、直觉推理等能力。例如，在立体几何教学中，教师在讲解柱体的相关概念、几何表示、结构特征后，可以引导学生用类比思维研究锥体、柱体的相关知识。面对锥体体积相关问题，学生普遍感到困难，教师在解题教学中引导学生运用类比思维，把三棱锥与三角形联系起来，既有利于学生掌握新知识、巩固旧知识，又能培养学生的数学素养。
例1：三角形的面积为S=（1/2）（a+b+c）·r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，表示三棱锥的体积。
根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求三棱锥的体积即可。设三棱锥的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，根据三角形的面积的求解方法——分割法，将O与四顶点连起来，可得三棱锥的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和，即V=（1/3）（S1+S2+S3+S4）·R。
这个问题不仅考查了锥体体积公式、分割法求体积，而且运用了类比推理的思想，把空间上的体积问题类比平面内的面积问题。学生在解题过程中必须运用之前学习过的相关知识，然后再结合图形进行分析，最后写出解题过程。在解题教学中，教师通过对新旧知识的融合，巩固了学生的旧知识，也提高了学生对新知识的接受度。
二、运用类比思维深化学生的解题思想
类比思维不仅是一种解题方法，还是一种数学思想。类比思维可以让学生产生知识迁徙，进一步加深学生的解题思想，提高学生的综合素质。因此，在数学解题教学中类比思维的应用十分重要。著名数学家和教育学家波利亚在其著作《怎样解题》中提出“当遇到一个新问题时，我们应该在脑海中回忆以前学习过的相关题目的知识、解题方法和解题技巧并对其进行适当的迁移，用于找到现有问题的解答方案”的解题思想。在具体应用中，教师可以根据教学内容培养学生的数学思想，使学生养成利用数学思想解答数学问题的习惯。
例2：已知球上截得小圆的半径为4 cm，截面与球心的距离为3 cm，求球的半径、表面积和体积。
在面对这一问题时，首先需要思考球与半径之间的关系。已知小圆的半径以及截面与球心之间的距离，这两者正好构成垂直关系，而且从数据上看，正好与球半径存在勾股定理的关系，因此运用勾三股四弦五的思想可以得知球的半径为5 cm，然后再根据表面积与体积公式进行求值，得出表面积为100πcm2，体积为cm3。
这一题主要考查了学生的思维能力，学生首先要想到将这些已知条件与所需要求得的值进行结合，找出它们之间的联系。在这一解答过程中，学生主要是运用类比思维将已知条件与未知条件进行类比，找出必要的联系。另外，这道例题不仅考查了球的表面积与体积公式，还考查了直角三角形、勾股定理等相关知识，在解题过程中学生需要灵活地运用自己所学知识。这样可以让学生在解题过程中思维更加灵活，符合高中数学中对学生综合素质培养的教学方针。
三、运用类比思维优化学生的解题思路
解题思路是解答问题的关键因素，学生在解答题目时受到之前一些题目解题思路的启发，产生解答新题目的解题思路，这是类比思想在解题中的重要应用。在解答题目时，教师要求学生先对题目的题型进行分析，类比条件或问题，进而对解题思路进行思考。在确定解题思路时，教师应引导学生加强对于题目的观察与分析，大胆假设，并寻找其中的规律。这样可以降低解题难度，对学生学习兴趣与效率的提升也是十分有利的。
例3：已知椭圆的标准方程为+y2=1，P（x，y）为椭圆上任意一点，求x+y的取值范围。
学生学习了椭圆的相关知识，了解到横、纵坐标的取值范围与a、b有关，但是对x+y的取值范围的求法没有经验。回忆到圆中有类似的问题：已知圆的方程为x2+y2=4，P（x，y）为圆上任意一点，求x+y的取值范围。设圆上点P的坐标为（2cosθ，2sinθ），则x+y=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+）。教师巧设辅助元素，帮助学生找出解题思路。有了圆的解题经验，能否类比迁移到椭圆中呢？只需要设椭圆上任意一点P的坐标为（2cosθ，2sinθ），则x+y=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ），问题就迎刃而解。 像这样通过类比相似题目获得解题思路的例子不在少数，如椭圆的性质可以类比到双曲线解题中，等差数列的性质可以类比到等比数列的解题中。纵然数学题目千变万化，只要学生勇于剥去外在的“包装”，就能够识得其本质，解题自然也不在话下。“授人以鱼，不如授之以渔”，教师在解题教学中，要注意引导学生关注做过的题目与新题之间的内在联系，抓住题目的共同特征，并以此为切入点，探寻题目之间可类比之处。类比思维应用能够启发学生的解题思路，还能够使他们举一反三地解决类似的数学问题，从而大大提高数学学习的效率。
四、结语
总之，类比思维与其说是一种数学解题方法，倒不如说是一种数学思维。在高中数学解题中运用类比思维可以有效提高数学解题效率，不仅对于数学学科的学习，而且对于其他知识的学习都有积极的推动作用。因此，学生在解题过程中要灵活运用这种解题思维，将新旧知识进行类比，将已知条件与未知条件进行类比，从而深化对数学知识的理解，构建数学知识网络，提高数学素养。
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