高校数学建模课程改革的实践与探索

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　　[摘 要]数学建模课程是数学类学科专业大类选修课。大数据时代的发展，不仅给数学建模课程带来了机遇，也带来了严峻的挑战。教师在有限的课时内组织安排好课堂的教学，进行教学方法和考核方式的改革十分必要，且势在必行。高校应以培养学生的问题意识、创新意识、分解意识为目的对数学建模课程进行建设和改革，具体的实施方案有经典例题讲解、实行翻转课堂教学、案例分析教学、上机辅导。实践表明，其取得了一定的成效。
　　[关键词]数学建模;问题意识;创新意识;分解意识;改革
　　[中图分类号] G642.3 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）02-0077-03
　　党的十九大报告提出，要推动互联网、大数据、人工智能和实体经济的深度融合。2017年7月，国务院在印发的《新一代人工智能发展规划》中，对我国人工智能发展明确提出了三步走的战略目标，其中第一步，是到2020年做到总体技术和应用与世界先进水平同步，人工智能产业成为新的重要经济增长点，人工智能技术应用成为改善民生的新途径。这一目标不仅与2020年全面建成小康社会相呼应，而且也是深化供给侧结构性改革、推动中国跻身创新型国家前列的重要驱动力之一[1]。自2013年以来，我国真正步入大数据时代，而大数据时代的动力是数学建模。大数据时代只是一个代名词，而真正能够推进大数据时代进步的引擎与动力则是数学建模，因为数学建模技术是大数据时代的数据挖掘、用户行为分析等应用的基础。在人工智能时代的背景下，数学建模能力的培养显得尤为重要。不管是人工智能还是深度学习，都离不开数学建模。也可以说，人工智能时代给数学建模带来了机遇与挑战。
　　高校的数学建模课程是数学类学科专业大类选修课。该课程是在数学分析、高等代数、概率论与数理统计、C语言、离散数学等专业基础课之后开设的一门后续应用课程。不同于传统的以传授数学理论知识为主的数学课程，数学建模课程是一门应用性和实践性都很强的课程，它的教学应该区别于其他的数学类课程的教学，应注重知识的一个整合和应用以及学生动手能力的培养与提升。
　　一、课程现状分析
　　数学建模这门课程，具有难度大、涉及面广、形式灵活等特点。本校数学建模课程有54个学时，其中48个学时为课堂讲授，16个学时为上机实践课。课时远远不够，现在的课程教学模式仍然以教师讲授为主，包括网上一些精品课程都是以这种方式进行教学的。传统的数学建模教学模式存在如下问题：一是具有较强的封闭性和保守性，采用传统的讲授式方法进行教学。教师讲学生听，忽略了数学思想的建立、数学方法的使用和学习能力的培养。学生普遍反映概念难懂，习题难做，方法不易掌握，自己建模存在很大的困难。在现在的教学模式下，要学生真正掌握方法并自己动手建模是几乎不可能的。二是学生过多地依赖教材中的数学模型，对建模的过程及利用计算机求解的内容不能通过讲解而实际领会和掌握，对所学的知识处于半懂不懂的状态，更不用说模型建立能力的培养了。在这种教学模式下培养出来的学生不可能有较强的实际应用能力和创新能力。而又因为数学建模课程的教学内容是以问题为中心、块状编排的，在授课时如果都是采用模型机械的讲解，学生学习数学建模会困难重重。三是考核方式单一，基本都是期末论文定乾坤，不能客观地评价学生的学习和掌握情况。四是教学和实际问题联系不紧密，学生提不起兴趣。课堂教学基本都是照本宣科，模型都是书上的经典模型，跟不上发展的步伐。五是随着大数据时段的发展，人工智能时代的到来，数据量的逐日剧增，学生无法掌握大数据的处理技术和应用软件，就不能适应现代社会的需求，影响将来的发展。
　　二、课程改革的理念及思路
　　数学建模这门课程越来越受重视，但在教学中存在着一些问题。很多学者在授课的过程中也注意到了这一点，提出了一些改革方案和想法[2-4]。这里所强调的教学改革的理念是坚持“以学生发展为中心，学习成果为导向，学习效果为标准”，培养“通专兼备、知行合一”的高素质专门人才。因此，在有限的课时内，如何组织安排好课堂的教学，进行教学方法和考核方式的改革十分必要，且势在必行。教师可以从以下几个方面进行教学改革。
　　（一）教学思路的改革
　　课程主要是培养学生的问题意识、分解意识和检验意识。以前，课程主要是让学生通过学习掌握一些经典的数学模型。课程改革中应该以学生为主体来组织教学工作，通过教学使学生学会用数学理论和方法去分析、解决实际问题;通过教學调动学生的主观能动性，激发学生学习数学的兴趣和应用数学的意识;通过教学鼓励学生创新，提高他们解决实际问题的能力。数学建模面对的是实际问题而不是数学问题，不能先问用什么模型，再问用什么方法。合适的模型需要合理的假设，做出合理的假设需要把实际问题搞清楚，因此培养学生的问题意识尤为重要。数学建模需要培养学生的分解意识，将困难的问题分解为可以解决的子问题，使得原问题的难度大大降低，再利用子问题拼凑出原问题的结果，这需要学生深刻理解所学知识的原理并能够灵活应用。在数学建模的教学中，还有一点需要我们注意，数学问题的解答正确与否可以靠逻辑和证明来判定，但是逻辑与证明不能作为实际问题是否得到了解决的唯一标准，必须一开始就考虑检验的标准和途径。因此，在教学的过程中，需要培养学生的检验意识，将检验意识的培养贯彻始终。
　　（二）教学方法的改革
　　在教学过程中，为学生创造独立的思维情境。数学建模课程本身的特点就是用数学方法解决实际问题，因此我们在授课时和贵阳市交管局及企业合作，提出一些实际问题给学生，让学生实际地去建模来解决问题。在教学过程中，以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。将新知识、新理论、新技术、新方法等学科前沿融入教学内容，积极开展基于问题、基于项目、基于案例的教学方法和学习方式改革，采用问题驱动式、启发式和案例式教学方法以及翻转课堂和大班教学小班讨论等手段，引导学生发现问题、主动学习，改变传统的“填鸭式”“满堂灌”的教学方式，推动课堂教学从句号课堂向问号课堂转变、从被动学习课堂向主动学习课堂转变、从封闭课堂向开放课堂转变、从知识传授课堂向能力培养课堂转变。具体措施如下：（1）将传统的习题课改为讨论课，讨论课的内容有两类，一类是全国数学建模竞赛真题，一类是来自实际项目中的问题。学生能力的提高不仅仅是通过教师单纯的知识传授直接得来的，更多的是通过学生自己的体会，探索和实践。我们希望把课堂教学变成一个小型科研活动场所，以学生为主体，采用启发式教学、问题驱动式教学和传统的讲授式相结合来教学。（2）将一部分课时采用翻转课堂的形式来进行教学，在上一堂课快结束时提出问题，将问题的数据或者视频提前给学生。学生在课下对问题要先进行一定的思考、数据分析，还有视频有效信息的提取，为模型的建立做准备，到下一次课时利用课堂时间进行讨论和比较。这样能充分调动学生的主观能动性，刺激学生的学习兴趣，充分让他们的思维活跃起来，而不是一味地接受。以此来提高学生的逻辑思维能力、抽象概括能力。（3）加强上机实践环节。通过机理分析是得不到准确的确定性模型的，需要利用已有的数据进行参数估计和数据分析。实验课要让学生自己动手，主要的软件有Matlab、Maple、R、Python等。安排学生三人一组研读全国大学生数学建模竞赛的获奖范文，并且在讨论课讨论模型方法。这些措施有助于他们团结协作能力的培养，更有助于他们解决问题能力的培养。此外，还需要加强论文写作训练。设置几个题目让学生以论文的形式交卷，他们在多次的写作中真切感受到写作能力的提高。介绍Latex作为论文的排版软件，为参加数学建模竞赛或者读研究生做必要的准备。 　　（三）考核方式的改革
　　传统的考核方式是期末论文定乾坤，但这不能作为考核学生能力的唯一标准。考核内容应该分为三部分，即课堂讨论占20%、实验报告占20%、期末论文占60%。课堂讨论按小组计分，将学生课堂自己的提问、回答老师的提问以及课堂讨论的表现作为平时得分的依据。上机实验报告和专题报告均作为论文考核的主要依据。论文评定根据为论文格式是否规范、问题阐述是否清晰、算法是否合理和模拟效果是否好。新的考核方式和成绩评定模式更注重学生综合能力的培养，更有益于培养学生的创新意识和创新能力。
　　三、具体实施方案
　　数学建模教学方法改革倡导以学生为主，和实际项目相结合，以问题驱动的方式引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论，培养学生主动探索、努力进取的学风，以及团结协作的精神。教学中广泛地采用讨论方式，学生自己做报告、讨论，教师答疑、辅导。发挥学生的主体地位，使学生每堂课都有所收获，取得更好的教学效果。课程按照方法分类，可以划分为初等方法建模、微分方程建模、概率统计建模、数据的插值拟合、回归分析建模、规划方法建模、层次分析法建模、决策分析法建模、图论方法建模、模糊数学方法[5]。按照这里提出的教学改革的理念，整个教学可以分成四个阶段来进行，具体实施方案如下：
　　[实际项目的翻转课堂][竞赛题案例分析][经典建模方法讲解][14个学时，引发学生的学习兴趣
　　及方法梳理][24個学时，项目驱动建模][10个学时，赛题演练][16个学时，软件的使用和基本算法实现  ][上机辅导]
　　（一）第一阶段，经典例题讲解
　　在这一阶段，主要介绍数学建模的基本方法。经典模型不能不讲，教师可从中挑选出五个经典方法（插值拟合方法、微分方程建模、概率统计方法、回归分析、数学规划方法、优化方法）进行讲解，旨在让学生对数学建模产生浓厚的兴趣，引导学生掌握数学建模的基本方法和步骤。
　　教学中教师可采取讲授式教学，提出问题，但不能马上给学生解决的办法，而是让学生先进行思考，即启发式教学。比如在建模的过程中要进行哪些假设会显得比较自然而不是生搬硬套。很多现有的模型是直接给出模型的假设再建立模型，实际上，哪些假设是必要的，是需要我们逐步引导学生的，在教学的过程中，教师要培养学生独立思考的能力和建模的敏感度。
　　（二）第二阶段，实行翻转课堂教学
　　将班上学生每三人分成一个团队进行讨论和实践，这也是此次数学建模教学改革很重要的一个环节，安排八周的时间实施，彻底颠覆传统的教学模式。（1）我们教师团队和一些政府机构及大数据公司有长期的合作关系，可以从他们那里寻找一些实际的问题，然后进行讨论，提炼出四个实际问题用于教学。（2）翻转课堂设计，提前把问题告诉学生，进行问题驱动，让学生在课下思考、查阅文献资料，整理好思路，按组别以小论文的形式提交给我们。通过我们的评选，择优挑选几组，采用翻转课堂模式进行讨论（被选择的几组学生可在平时成绩上加十分（百分制），作为期末总评成绩的一个依据）。翻转课堂的实施中，一些细节处理上的问题需要教师答疑解惑。（3）此阶段中的实验环节会穿插一些对数据处理的内容给学生讲解，比如如何对数据进行提取、探索、清洗、分析;还有一些新方法的引入，比如聚类分析、时间序列分析、神经网络预测等，这些内容是书本上没有的，但在当下是比较流行的一些建模方法。对这些内容的讲解能提高学生自己动手建模解决实际问题的能力。
　　（三）第三阶段，案例分析教学模式
　　教师要仔细研读全国大学生数学建模竞赛题，在课堂上对近几年赛题的优秀论文作解读，将一些成功的案例引入课堂，分组进行讨论。分析建模出现的新方法，学习优秀论文的写作格式和技巧。当然，赛题不仅局限在全国大学生数学建模竞赛，还有美国大学生数学建模竞赛、深圳杯等一些重要比赛的赛题。这能让学生了解到目前的一些需求和新的建模方法，有效地激发每个队伍的积极性和潜能。学生通过上机实验进行训练和提升，更能为九月份的全国大学生数学建模竞赛打下坚实的基础。
　　（四）第四阶段，上机辅导
　　上机实际是穿插在整个学期的课程之中，每隔一周就有一次上机课程。课堂上教师要先给出上机问题，布置任务让学生上机动手操作实现各类建模方法。在机房进行程序的辅导和答疑，让学生理论结合实际，能够快速掌握一些数据分析处理的技巧和模型算法的实现，从而更好地激发学生学习兴趣和提高处理数据的能力。
　　四、结论
　　通过以上对数学建模的教学改革实践与探索，极大地激发了学生的学习兴趣，促使学生主动学习，主动探索。近几年贵州大学参加数学建模竞赛的学生队伍急剧增加，其中不乏一些突出的队伍，也获得了很好的成绩。获得奖励不是关键，关键是在这门课程的学习或者参加比赛的过程中，学生实实在在学到了知识，并且将知识和实际相结合，解决了实际问题，也改变了大多数大学生认为某些课程学无所用的观念。在这个过程中，学生独立进行思考，逐渐形成问题意识、分解意识、创新意识，这对于学生的人生是有利的，不管是在工作中或者在生活中。但数学建模课程的建设还有很长的路要走，它要求教师实时地掌握目前盛行的大数据处理技术，以及学习新的算法，掌握大数据处理工具，包括Spark、Hadoop、Python，以及分布式处理技术等。借用姜伯驹院士曾说过的话“别把数学建模搞成‘建模数学’”，人工智能时代一定是数学建模的黄金时代，要让学生在此背景下快速地适应并能够抓住这样的机遇，需要我们高校教师的共同努力与付出。
　　[ 参 考 文 献 ]
　　[1] 陈自富.人工智能，为实体经济注入新动能[J].人民日报，2017-11-20（05）.
　　[2] 刘三明.基于创新和应用能力的数值分析课程教学研究与实践[J]，大学教育，2016（2）：130-131.
　　[3] 熊丹，吴传菊.案例教学法在独立增量过程教学中的探讨[J]，大学教育，2018（5）：56-58.
　　[4] 魏志渊，毛一平，毛启帆等.加强数学建模课程建设，促进高校教学改革[J]，数学的实践与认识，2003（5）：120-122.
　　[5] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2018.
　　[责任编辑：刘凤华]
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