小学数学教学中数感培养策略举隅
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【摘要】数学是一门需要敏锐感觉的学科。数学理解要凭借数感，要从感觉上把握数学现象。培养学生形成“数感”应作为小学数学课程教学主要目标。教者对数学教学内容的认识视阈，决定学生可能理解的程度以及数感发展的深度、广度及敏锐性。在“乘法的初步认识”教学中应“注重纵横关联，发展数感的广度；夯实思维基础，发展数感的深度；顺应认知心理，发展数感的悦纳度。”
【关键词】小学数学；乘法教学；数感
我们通常认为数学是一门讲求逻辑严密的学科。但是小平邦彦，这位菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章得主的当代著名数学家，认为“虽然数学要遵循逻辑，但数学在本质上与逻辑不同”。他笃定，数学是一门需要敏锐感觉的学问。数学理解要凭借数感，要从感觉上把握数学现象。“正如乐感不好的人无法理解音乐，数感不好的人同样无法理解数学。”这和我们一直以来对数学学习的基本认识不同。
以往，我们倾向于“只要通过努力教学数学的逻辑，再通过反复地练习，学生就会掌握数学。”如果学生学习成绩不理想，我们就会怀疑自己的教学方式方法是否有效，并企望通过改进教学以及加大练习强度来促进学生数学水平的提升。但是，如果数学学习更依靠“数感”而不是学科知识体系内在的逻辑，那么，我们的教学重心就要调整了。相信赞同小平邦彦的数学老师应该不少。我们在教学中也的的确确有过这样的“闪念”，只不过碍于可能会给学生“贴标签”，所以不愿“直视”问题。小平邦彦甚至深信那些在数学上有所成就的人都是因为“数感”得到了良好的发展。他认为“数学家对于数感并不自知，数感应该是人类进化过程尚未被开发的感觉。”从这一点来讲，数感的重要性就不仅仅是学好数学了，而是关系到人类自身的进步，关乎人脑的开发与进化。在小学阶段，教师建立起对数感的正确认识必然有助于提升学生数学思维能力，继而培养并发展学生数学核心素养。那么，在小学数学教学中该如何发展学生的数感？本文试图以“乘法的初步认识”为例，阐述笔者对于数感发展的认识，并提出相应的教学策略。
一、发展数感是计算教学的主要目标
“数感”一词在“义务教育数学课程标准”中被解读为“关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟”英国教育家茱莉亚·安吉来瑞指出，“数感指的是一个人对數字和运算的一般理解力，以及灵活应用这种理解力的倾向和能力，用这种方式可以做出明智的数学判断，并开发出应用数字和运算法则的有效策略。”由此可见，相对于其他知识板块，与数感关联最为紧密的应是计算教学部分。数感的发展与运算能力的提升是相互促进的：一方面，运算能力的发展标志着数感的增强；另一方面，数感的形成是计算教学的基础，发展数感必然会促进运算能力的提升。数感的培养与发展毫无疑问是计算教学的主要目标。有学者甚至认为，包括小学阶段在内的初等教育阶段的数学教学都不是为了片面地讲授数学各个领域的知识，而是为了培养数学思考能力和数感。21世纪的生活所必须的技能和理解力之一就是对数字模式和数字关系的辨认，这些模式和关系是数字运算的重点。目前，已有多个国家基于这一认识开展数学课程改革。在全球课程改革中，美国学校数学课程与评估标准和全澳学校声明最为典型，它们都是把培养学生形成“数感”作为学校课程教学主要目标。认为“数感”意味着计算策略中的“灵活性”和“创造性”。
二、“乘法的认识”教学中发展数感的基本策略
1.延展“乘法”认识视阈
教者对教学内容的认识视阈，决定学生可能理解的程度以及数感发展的深度、广度及敏锐性。过去我们经常说“要想给学生一碗水，教师必须要有一桶水”。以单纯的知识教学和能力发展的角度来看，这一描述并不为过。在“乘法的认识”教学活动开展前，教者有必要下下功夫，尽可能地延展自己对此内容的认识视阈。那么，打开视野之后再去审视“乘法”，可以看到哪些层面呢？
①“乘法”是“求几个相同加数的和的简便运算”。这是我们最为基本的一个认识。这一“说法”至少传递了几个信息：一是，乘法实际上就是一种特殊的加法；二是，乘法是一种简便运算的形式；三是，多个相同加数求和就可以用乘法计算。在这种对乘法的“感知”中，乘法可以理解为加法计算的一种特定模型，或者说是加法的一种快捷计算方式。可以作为反复做加法的一个简短的缩写形式。也可以理解为一种自动化的计算程序，其“效率”就如使用算盘等计算工具一样。由此拓展开来，乘法在自然数域、整数域、有理数域、实数域乃至虚数域都被赋予了不同的运算意义。
②“乘法”用来表示一个数量多次“复制”的结果。这一理解已经突破了“加结构”的认识，将有助于学生理解“倍”的概念。
③“乘法”是矩形面积的求积方式。这种理解可以帮助学生建立乘法结构的直观表象。有研究表明，乘法就是为了矩形面积求积而“诞生”，并非是“加法”直接“升华”。
④“乘法”就是因变量与几个自变量的正比关系。这是代数思维的认识，对中学阶段学习函数有一定帮助。
⑤“乘法”是一种概率问题的解答模式。如“乘法原理”类问题、“搭配”问题、“排列组合”问题等。
⑥从哲学角度解析，“乘法”是加法的量变导致的质变结果。
2.注重纵横关联，发展数感的广度
《数学学习的心理基础与过程》一书中转述了格里尔等学者的教学主张。认为“算术运算教学应该关联到不同情境。教师应该聚集在如何有组织地布置不同类型的文字题，儿童经过真正的解题，建构与发展有意义的运算与解题策略，逐步建构运算意义。笔者认为，“关联”可能是数感强弱最为关键的体现了。“关联”既包括横向的，即多种应用情境的互相关联。也包括纵向的，即新旧知识的关联。关联程度越强、角度越开放，说明发散思维能力就越强。
①建立新旧知识的关联。茱莉亚.安吉来瑞试图辨别出数感的典型特征，她强调“学生具有数感的典型特征是他们能对所遇到的数字模式和计算过程做出归纳，并能把新知识和已有知识相联系。”在“乘法的初步认识”教学中，很多老师会不自觉地忽视了加法的计算过程，认为学生已经不需要具体的“计算”了。如“5+5+5”，加法的计算过程一般为：先算前两个“5”相加得到“10”，再和第三个“5”相加得到15。切莫因为“多数”学生能够“脱口而出”就忽略了这一“连续加”的思考过程。在认识“乘法”的初始阶段，非常有必要让学生思考并且要准确表达这一过程，以期后续对乘法进行“转化”，并形成新概念的“凝聚”。郑毓信教授在《数学思维与小学数学》一书中这样阐释：所谓“凝聚”，笼统地说，就是由“过程”向“对象”的转化。就心理表征而言，是由一个包含多个运作过程凝聚成了单一的数学对象。 三、顺应认知心理，发展数感的悦纳度
1.关注数学文化的渗透，涵养学生文化底蕴
每一处数学知识都不是冰冷生硬的，都会留有历史的温度。“乘法”这部分内容中的关键材料“九九乘法表”就承载着无数古代圣哲先贤的“智慧”。据史料，“九九歌”远在春秋战国时期即被广泛使用，最初的九九歌是从“九九八十一”开始到“二二得四”共36句。这是“小九九”，还有81句的“大九九”。一直到现在，人们在生活中也经常会以“小九九”这个词表示某人的“谋略”或“心机”，这就是一种文化的烙印。随着学习的深入，教师还可以帮助学生进一步涵养多元数学文化观。例如，可以和学生一起了解“中国算盘中的乘法、埃及连续加倍运算的乘法、俄罗斯古老的乘法算法、格子乘法、纳皮尔乘法”等。
2.注重材料的趣味性，培养学生数学学习兴趣
数学思考，并非是绞尽脑汁的思考，而是凭借数感享受数学的乐趣（小平邦彦）。数学学习困难的一个间接但很普遍的原因就是学生没有感受到数学学习乐趣。因此，教师必须要“绞尽脑汁”增强教学的趣味性。但是，这里所强调的“趣味”不能简单的等同于游戏活动等“有形”的趣味化，相比之下，我们更要挖掘数学材料本身的“趣味”。比如，在认识“×”号的时候，与其冗长地介绍乘号的来历，讲一些历史故事等，不如赋予“乘号”以“新意”，并找到一定的关联。基于此，不妨把“×”看作“滚动着的加号”。在教学素材的选择上也是如此，近年来各种版本的教材都比较注重“趣味性”，如以“蚂蚁做操”为问题情境，借助直观模型“点子图”理解乘法算理，就比较直观生动、易于理解。
当然，对于数感的培养除了要关注以上几个特性，还应注意发展数感的精细性，鼓励学生源自直觉的表达，发展数感的敏锐性等等。只是在小学阶段“乘法”教学活动中要有一个轻重缓急的区分才好。
综上，笔者举隅“乘法”，梳理了对数感的认识和理解，并对发展数感提出一些实操建议。虽然笔者极力呼吁中小学教师们要重视学生数感培养，甚至认为“数感”是数学核心素养之核心。然而，也多少有一些担忧，就是我們往往会“矫枉过正”，重视了数感却又忽视了逻辑！毫无疑问，在数学教学中，数感与逻辑一定要“并驾齐驱”。郑毓信教授在《数学思维与小学数学》一书中，已经为我们指明了这一点。他说，我们的确应该通过数学学习发展学生数感。然而，作为问题的另一方面，我们应该清楚地看到数感的局限性。这表明了数学思维的思辨性质。应该明确肯定的是，在数学直觉与逻辑思辨之间存在着相互促进、相互依赖的辩证关系。这或许就像一枚硬币的两个面，抹平了任何一面，就不再是“币”了。
参考文献：
[1]（日）平邦彦.尤斌斌（译）.惰者集——数感与数学[M].北京：人民邮电出版社，2017：2-17.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：5.
[3]（英）茱莉亚﹒安吉来瑞.徐文斌（译）.如何培养学生的数感[M].北京：北京师范大学出版社，2006.
[4]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009，253.
[5]郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京：江苏教育出版社，2008，8.
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