帮助学生积累数学基本活动经验的五个“着眼点”
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摘 要：数学基本活动经验是学生亲身经历数学活动过程的个人感受、体会和领悟的综合，它不能通过同伴传递或集体训练获得。教师要立足于学生终身发展的需要，在教学中通过观察、操作、探究、思考、运用等有意义的数学活动，帮助学生积累数学基本活动经验，从而完成由简单的传授知识和训练技能到帮助学生形成自身智慧的转变。
关键词：数学基本活动经验 积累 策略
《义务教育数学课程标准（2011版）》的课程目标中明确提出“四基”要求，即使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。[1]数学活动经验与数学思想方法因此走入了更多的数学教育者的视线，它与之前的“两基”——基本知识和基本技能并重，成为了数学教育教学追求的目标之一。然而，数学基本活动经验又不同于基本知识技能，知识可以被传递，技能可以被练习，数学基本活动经验不能被传递，不能被练习，它是学习者个人的亲身经历和感悟的累积；数学基本活动经验也不同于数学能力，能力可以被训练、被细化，数学基本活动经验则更为综合，没有直接载体可以检测经验强弱或有无。可见，数学基本活动经验是不能通过传递或训练而获得的，它是学生亲身经历数学活动过程的个人感受、体会和领悟的综合。学生只有经历观察、操作、探究、思考、运用等有意义的数学活动过程，才能有效地积累数学基本活动经验。本文结合实际教学中的案例，就如何有效帮助学生积累数学基本活动经验谈谈几点思考和做法。
一、在观察中，积累学生的数学基本活动经验
欧拉（L.Euler）指出：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的……只有观察才使我们知道这些性质。”波利亚（G.Polya）也提到：“一个名副其实的科学家应致力于从已知的经验中引出最正确的信念来，并为了建立关于某个问题的正确信念而积累最正确的经验。科学家处理经验的方法，通常称作归纳法……归纳法常常从观察开始，一个生物学家会观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论感兴趣的数学家会观察整数1 2 3 4 5……的性质。”[2]观察是数学基本活动经验获得的初始阶段。人的认知过程是经历从感性上升到理性、从具体到抽象的过程，观察是认知的第一步。
日本数学家小平邦彦说，理解数学就要观察数学现象。数学中的观察不仅仅限于直接观察，还应包括对头脑中已有的认知进行重组、再加工的过程。因此，数学的观察有两个维度：一是“异中求同”，即观察到事物的共性、特性，观察共性是为了发现事物的本质，进行归类，观察特性是为了区分事物，进行分类；二是“同中求异”，即观察到事物间的关系。在教学中，教师要帮助学生积累数学观察的经验，除了要引导学生学会观察事物的共性与特性，还要引导学生学会观察事物间的关系，比如数与数间的关系、图形与图形间的关系。这是学生积累数学基本活动经验的第一步，这种经验的获得是实现数学思考的前提。
以人教版三上《平行四边形和梯形》为例，教材意图学生在学习平行与垂直的基础上，通过观察、比较，抽象概括出图形各自定义的目的。基于这样的认识，这节课设计了4次观察活动：第一次观察，“平行四边形和梯形最大的区别是什么？”学生在最直观的观察活动中揭示了平行四边形和梯形特征的关键；第二次观察，“哪些四边形是轴对称图形，怎样的平行四边形和梯形是轴对称图形？”这里的观察对学生进一步认识平行四边形和梯形的特征起到螺旋助推的作用；第三次观察，“分别用4根4厘米的小棒和2根6厘米2根4厘米的小棒，围成的四边形的形状为什么是千姿百态的？”学生多角度的观察实现了对知识的多角度的把握，深化了对图形特征的掌握。第四次观察，“任意的四边形改变什么条件就能变成梯形？梯形改变什么条件就能成为平行四边形？平行四边形又如何转变为长方形、正方形？”把图形放在大背景下让学生观察，条件的改变使学生看清了图形与图形之间的关联。更有利于学生从整体上把握知识的脉络，形成知识网络。在经历了以上4次由浅入深的观察过程，学生不仅获得了有形的和无形的知识，还体验到了多层次、多角度的观察经验和方法，从而享受到了物质和精神上双丰收的愉悦。
二、在操作中，丰盈学生的数学基本活动经验
苏霍姆林斯基曾经说过，“在手和脑之间有着千丝万缕的联系，这些联系起着两个方面的作用，一个是手帮助脑得到发展，帮助它们更加的明智；另一个是脑帮助手得到发展，使它变成聪明的创造的工具，变成一个镜子和思维工具。”这种说法主要阐明：动手操作是思维的起点，是智慧的起源。“智慧自动作发端”， 数一数、摸一摸、画一画、量一量、剪一剪、拼一拼等操作活动，调动了学生的多种感官参与。学生在操作过程中可以对学习材料获得最直接的感受和体验，当这种感觉和体验累积到一定的水平时，便形成了学生自身独有的数学活动经验。这种操作的活动经验，一般体现的是直接获取的经验，它的价值不是问题的解决，而是对学习材料的感性认知，它是构建个人理解不可或缺的重要一环。
以人教版四下《三角形的认识》为例，这节课的重点是认识三角形的高和掌握画高的技能。课本对三角形的高的定义是发生式的定义，“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。”可见，对高的定义的理解一定要通过操作。而学生已具备了平行四边形的画高的经验。基于以上两点的认识，在教学方式上，把这节课定位为侧重技能的操作，又不單纯传授画高技能，在动态操作中感悟三角形变化，高也随着变化。于是，创设了这样的操作活动：①画一个任意的三角形，画出它一条边上的高，学生交流互查，指定学生板演画高。学生会在实际画高中遇到对点、对边的困难。教师在这里特地创设的操作活动及等待，使全班同学都在活动中领悟了画高的要领。②将学生的作品进行旋转操作。学生通过操作就认识到了三角形的高与位置无关，抽象出了三角形高的本质，同时认识到三角形有三条高。③画一组等底、等高的四个三角形的高。学生画高中进行了动态想象。把直角三角形巧妙地设计在最后一个，学生在操作与想象中就自然地认识了直角三角形直角边上的高。④三角形顶点的连续动态变化（上下左右），高又是怎样变化的。使学生认识到三角形高与顶点、底的关系，认识到钝角三角形的高。⑤通过一条高，想象出三角形、平行四边形的活动，沟通画三角形的高与平行四边形的高以及画点到直线的垂直线段之间的联系。以上的这些操作活动，实实在在地把画高的技能落到实处，还培养了学生的空间想象能力。 三、在探究中，内化数学基本活动经验
苏霍姆林斯基还说过：“在人的心灵最深处，通常都有一个根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者、探索者和研究者。”[3]一般地，在小學生的精神世界中，这种需要是尤其强烈的。学生在学习数学的过程中，最重要的是亲身体验整个探究过程，这是一个锻炼思维、增长能力的过程，也是一个知识重现和再生的过程。其中，既有外显的行为活动，也有内在的思维活动。从学生的学习结果看是获得了经验，从过程上看则是一个积极的经验内化的过程。这就要求教师为学生提供足够的时间和空间，让他们充分经历数学探究过程，体验数学，感悟数学，以达到内化数学基本活动经验的目的。
如人教版五年级下册《轴对称》的教学，设计了这样的探究过程：探究（1），“画龙点睛”的游戏，把独眼龙的眼睛点上去，并想一想为什么这样点，从而得出了龙的两只眼睛应该在水平线上，并且到对称轴的距离相等这个特点。学生初步感知了轴对称图形等距性的特征；探究（2），画出“松树”图案的对称轴，有什么办法检验所画的是对称轴。通过给松树找对称轴、对应点，进一步完善、内化了对称图形的基本性质；探究（3），选择一个 “小草”图案与另一个“小草”图案成轴对称，移动“小草”图案，它的对称图形怎么移。促使学生更深层次地理解对称图形的基本性质，深化了数学的感悟。
四、在思考中，提升学生的数学基本活动经验
史中宁教授认为，数学基本活动经验的内涵是“感悟了归纳推理和演绎推理过程中积淀形成的数学思维模式。”[4]正如数学观察要能“异中求同”和“同中求异”，数学思考也要“求同”和“求异”，也就是说，需要经历和体验“归纳推理”和“演绎推理”的过程。史教授还指出，“就中小学生而言，这种数学思维模式主要表现为从特例入手、尝试性探索和归纳猜想一般规律或结论。”[4]这种尝试“猜想、归纳、表达、验证或证明”的数学思维模式，是小学生的数学基本活动经验。在思维活动过程中，“学生体验、感受、体会”的核心是经历完整数学活动过程后，所感悟到的“猜想——检验猜想——修正猜想”的归纳推理过程，以及证明猜想的演绎推理过程，在经历和感悟中形成一定的数学思维模式，并提升一定的数学基本活动经验。
以《分数的基本性质》的教学为例。学生的起点是，已经掌握了除法与分数的关系以及商不变的规律。这节课可以采用“迁移猜想——验证猜想——修正猜想”的方法教学。第一步，迁移猜想。学生根据商不变的性质写出除法算式，把算式的商改写成分数的形式，根据分数与除法之间的关系和商不变的性质，猜想分数的基本性质。第二步，验证猜想，归纳新知。学生先独立思考验证1/2=2/4，交流得到画图形（或折纸）、画线段图、转化除法计算、商不变的性质等方法；学生再次用以上方法验证自己所想的两个分数相等；最后归纳得出了分数的基本性质。第三步，修正猜想，完善规律。看书讨论理解为什么“同时乘或除以一个数，0要除外”。教师基于学生的学习起点，利用知识的迁移类推，让学生经历归纳推理的过程。这样的教学，关注了学生的已有经验，关注了数学的内在联系，也关注了学生的学习后劲。
五、在运用中，完善学生的数学基本活动经验。
朱德全教授认为，“知识经验是问题解决过程中，通过非认知的激活作用以及由此促成的认知内化作用在强化和巩固后生成的应用意识……认知内化作用通过多次巩固和强化后便生成应用意识，应用意识的生成便是知识经验形成的标志。”[5]可见，活动经验反映的是一种过程性。每一个阶段的学习都是基于学生已有的知识和经验，是对已有知识和经验的巩固、强化、深化、完善和发展。只有当学生的经验经过清晰化、条理化、系统化的提升，才能形成对以后类似情境与活动具有指导作用的数学能力。
例如，六年级下册《整理与复习》中的《空间与图形》的例4之后做一做：“怎样量出一个马铃薯的体积？”解决这个问题需要学生运用等积变形转化的策略。如果学生已经具备了这种应用意识，便能顺利作答，反之，则说明尚需引导。教师在给予了学生激活已有经验的等待时间后，可以对部分学生进行提示：刚才我们回忆了圆柱体、圆锥体的体积学习，在之前学习中用到了什么方法？“一语惊醒梦中人”，尚无头绪的学生头脑中的等积变形的转化策略就被瞬间激活。此时，学生思绪飞扬，不断涌现出新的设想、新的见解，很快想出利用转化的策略求出土豆体积的方法。在运用数学活动经验解决问题的过程中，学生的思维经历了从模糊到清晰、从混乱到系统的这样质的飞跃，学生真正成为了一个探索者和发现者。
数学基本活动经验是数学活动过程和结果的统一，强调学生个体的亲身经历和感悟。数学基本活动经验的积累是一个循序渐进的过程，它贯穿于学生学习的过去、现在和未来，影响着学生学习的过程和结果。数学基本活动经验始终是综合性的，是弥补数学基本知识、基本技能的不足，是教育发展的必然。史宁中教授认为，“所有学过的东西遗忘后留下的是什么？数学基本活动经验是重要的一部分。”因此，我们要立足于学生终身发展的需要，在教学中通过观察、操作、探究、思考、运用等有意义的数学活动，帮助学生积累数学基本活动经验，从而完成由单纯的传授知识和训练技能到帮助学生形成自身智慧的转变。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012，8.
[2]郭玉峰，史宁中.数学基本活动经验：提出、理解与实践[J].中国教育学刊，2012，4.（42-45）.
[3]田玉萍.试析数学基本活动经验的内涵及类型[J].吉林广播电视大学学报，2013，4.（65-66）.
[4]郭玉峰，史宁中.“数学基本活动经验”研究：内涵与维度划分[J].教育学报，2012，5.（23-28）.
[5]朱德全.知识经验获取的心理机制和反思型教学[J].高等教育研究，2005，5（05）.
[6]张孝天.关注数学基本活动经验[J].小学教学，2009，3.（76-79）.
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