基于微课的高等数学教学设计研究

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　　摘 要：本节课是基于微课的教学设计，为了将抽象的概念简单化，在教学设计中利用第二宇宙速度问题创设情境，切入主题。通过探索实际问题与无穷限反常积分的联系，明确无穷限反常积分的应用思路和方法，进而提高学生分析和解决实际问题的能力，降低学生学习的畏惧感。同时，挖掘高等数学中课程思政元素，将高等数学上出新气象。
　　关键词：教学设计;高等数学;无穷限反常积分;课程思政
　　《高等数学》是面向高等院校理工类本科专业学生开设的一门公共基础课，着重培养学生的抽象思维、逻辑推理以及分析问题解决问题的能力，是开展数学素质教育、培养学生创新精神和创新能力的重要课程。当下，移动设备的普及以及网络信息精彩纷呈，学生总是不由自主被其吸引，就算教学经验丰富的教师要很好地把控课堂也变得非常艰难，面对新的形式，高校教师应如何进行有效地教学？
　　微课是近几年兴起的一种新的教学模式，它以短小精炼的形式呈现一个个知识点，将抽象的概念形象化、生动化、直观化、生活化，使得整个教学过程妙趣横生。由于它获取方式的便捷性，因此学生可以不受时间、空间的约束反复观看视频来进行学习，此外，微课时间短，学生的注意力能够短时集中，合理有效地将微课应用到教学中，有利于提高学生的综合数学素养，提高教学质量。同时，高校教师也应做好准备，抓住机遇，主动探究利用现代化信息技术有效组织课堂教学，改进教学方式、提高授课效果，提高学生的高等数学知识储备。下面，就以高等数学中无穷限反常积分教学设计为例，谈一下笔者的教学体会与实践。
　　一、 无穷限反常积分的教学设计
　　（一） 教学设计的总体思路
　　微课设计的初衷是将枯燥晦涩的学习内容科学化、生活化、趣味化、合理化，这种教学模式有利于激发学生学习的主动性并提高教学效果，授课教师和学生教学相长。
　　本节课以嫦娥奔月、牛郎织女、万户升天等古代人类对太空充满向往的故事引入新课，再通过当代的中国航空事业的发展，以及卫星对我们的生活所带来的翻天覆地的影响切入新课，引出利用火箭发射卫星案例，顺利进入今天的主题，展开教学。并以火箭发射的物理背景作为新课探究知识点，诱导学生对新问题进行分析，展开对新知识的学习。本节课主要采用启发式、探究式、研讨式教学，始终从问题出发，层层设疑，诱发学生解决问题的欲望，引导学生在不断思考中获取知识。教学中，引導学生通过小组讨论获得合理解决方案，当一个个数学问题通过学生合作探究得到答案时，定能增强学生解决问题的成就感。
　　（二） 教学设计的过程
　　1. 从生活实例出发——概念的引入
　　荷兰著名数学家、数学教育家汉斯·弗赖登塔尔认为：“数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，数学过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程”。教师在教学中始终将知识学习与生活实际紧密结合，鲜活的生活场景有助于学生将已有的知识进行转化。通过嫦娥奔月、牛郎织女、万户飞天等同学耳熟能详的故事回顾中国古人的飞天梦，利用中国古代的飞天梦和现代人的飞天梦描述，为后面的火箭发射案例的引出做铺垫，增强学生的民族自豪感。
　　案例引出：在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，初速度v0至少要多大？
　　2. 剖析问题——新知探究
　　通过对案例的分析得到12mv20=∫∞RmgR2x2dx，学生不难发现要求初始速度v0，必须先计算出这个无穷限积分∫∞RmgR2x2dx，这个积分结构上类似定积分，但它的积分区间是无穷区间，该如何来计算呢？
　　引导学生把握好两个思想，第一，转化的思想。将未知的无限区间上的积分转化为学生熟悉的有限区间上的定积分。第二，极限的思想，利用极限的思想理解无穷限积分反常积分的概念。所以这个无穷限积分∫∞RmgR2x2dx的实质就是求定积分的极限问题limx→∞∫xRmgR2x2dx，由此引出无穷区间上反常积分的概念。这部分内容的设计主要培养学生的数学思维方法，掌握问题求解的思路。
　　3. 定义梳理——探究实质
　　师生共同梳理、分析、总结无穷限反常积分的定义。在原函数存在的情况下，又利用牛—莱公式，得出结论：无穷限反常积分计算问题的实质为计算定积分的极限存在与否。同时，我们已经得出了函数f（x）定义在[a，∞）的无穷限反常积分，如果函数f（x）定义在（-∞，b]上，又该如何定义？函数f（x）定义在（-∞，∞）上，又该如何定义？
　　提出问题，启发学生思考探究，模拟已知的定义得出其他情形无穷限反常积分的定义。针对其他两种情形，需进一步强调定义中“定积分+极限”的思想，并且指出∫+∞-∞f（x）dx的收敛性与收敛时的值，都和实数a的选取无关。由于∫+∞-∞f（x）dx是由∫+∞af（x）dx和∫b-∞f（x）dx两类无穷积分来定义的，因此，f（x）在任何有限区间v，u（-∞，+∞）上必须是可积的。
　　给出反常积分的几何意义。启发学生回顾定积分的几何意义为求曲边梯形面积，无穷限反常积分的几何意义如何描述？利用多媒体，给出无穷限反常积分的几何意义：求开口曲边梯形的面积。进一步加深概念的理解。
　　4. 实例计算——强化定义
　　给出经典例题：讨论无穷积分∫+∞a1xpdx的敛散性。
　　引导学生计算实例，加深反常积分定义及几何意义的理解，明确并强调反常积分计算原则，并指出要计算无穷限反常积分，关键只要计算定积分的极限是否存在即可，强调p=1的时候的特殊性，得出结论：p>1，收敛;p≤1，发散，并指出这道例题的结论经常用来判断一些无穷限反常积分的敛散性。同时，这道例题的讲解也为后续引例的求解做铺垫。 　　5. 引例求解——学以致用
　　回顾引例，在案例中，把常数mgR2从积分号中提出，即为∫+∞R1x2dx的积分，也是一个反常积分，不难发现，这正是前一例題中p=2时的特殊情形，由分析可知是收敛的。将g=9.81（m/s2），R=6.371×106（m）代入，有v0=2gR≈11.2（km/s），这就是我们熟悉的第二宇宙速度。回顾火箭发射案例，掌握反常积分的实际应用，计算引例，首尾呼应。通过第二宇宙速度问题的引入，激发学生自主学习的积极性，探索实际问题与无穷区间上的反常积分的联系，明确无穷区间上的反常积分的应用思路和方法，最终提高学生分析和解决实际问题的能力。
　　6. 融入思政元素——提升学生人文情怀
　　从中国古代的飞天梦，到现代人的飞天梦，进而引入卫星发射，切入教学主题，融入思政教育。从古至今，人类的飞天梦从未间断，中国人的飞天梦从未间断。航天日新月异，让中国梦更加完美。通过第二宇宙速度的求解，让学生体会到数学思想的美妙，数学是有“用”的。同时，简要介绍国家航天事业发展之路所创造的奇迹，领会我国在航天技术发展过程中形成的航天精神，只要我们脚踏实地，一步一个脚印地走下去，当我们的知识积累，先进技术由量变到质变的时候，中华民族的腾飞之日必将到来。通过思政元素的融入有效地激发学生的爱国主义情感和民族自豪感，激发学生学习科学技术的热情和动力。
　　7. 小结
　　本节课通过火箭发射的具体案例，采用转化的思想，从有限区间过渡到无限区间再利用极限的思想给出反常积分的概念及敛散性的判定方法，介绍了无穷限反常积分的几何意义，并给出了无穷积分的典型计算问题。回顾反常积分概念的形成思路，帮助学生更好地梳理与掌握本次课的重点知识。
　　8. 课后延伸——补充课堂知识
　　简单介绍“喇叭悖论”，从有趣的悖论着手，激发学生探知欲望，引导学生分析悖论的实质，即涉及旋转体的容积和内侧表面积问题。拓展学生的思维和知识面，也能培养学生科学想象力和探索新知的能力。补充课堂知识，加深对所学知识的理解，达到更好的学习效果。
　　二、 结束语
　　合理利用微课教学可以更好地提高教学效率，优化教育结构，微课的教学应紧扣主题，而不能单纯为了追求趣味性，创新性而忽视了授课的主旨——知识的传授，好的教学设计可以使得微课变得精彩且有生命力。传统的高等教育教学模式正处于千载难逢的变革之中，高校教师在教学中应顺应潮流，脚踏实地，推陈出新，在教学设计中，充分利用多媒体技术，采用丰富的教学素材，挖掘课程思政元素，形象生动地展示课程内容，提升学生的学习兴趣。同时，注重学生的数学思考与交流，数学思维的培养，提升数学课堂的深度，促进学生快速、有效、个性化、愉悦地学习。
　　参考文献：
　　[1]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
　　[2]华东师大数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.
　　[3]黄宽娜，刘徽，江志华.基于MOOC思想下的高等数学微课教学的设计与应用[J].西南师范大学学报，2016，41（10）：146-149.
　　作者简介：
　　廖春艳，赵艳辉，唐伟国，湖南省永州市，湖南科技学院理学院数学系。
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