您好, 访客   登录/注册

极端原理在函数最值问题中的应用

来源:用户上传      作者:雷慧华

  【摘 要】极端原理是解决数学问题的重要原理,而函数是中学阶段的重难点内容,其中涉及许多与极端原理有关的问题。本文阐述了极端原理含义、并通过具体例子说明极端原理在函数最值中的应用。
  【关键词】极端原理;函数;最值问题;应用
  一、极端原理的由来与具体内容
  何为“极端”?于数学之中即为在满足题意下的特殊情形,比如最大最小值等。那么什么是极端原理呢?极端原理的具体内容如下:
  原理1:设M是由自然数组成的集合,不论M是由全体自然数组成的,还是由一部分自然数组成的。即不论M是由无穷多个自然数组成的,还是由有限个自然数组成,则M中必有最小数。
  原理2:设T是由有限个实数组成的非空集合,则T中必有最大数,也必有最小数。
  上面两个原理的内容十分简单,却给我们解数学题提供了十分有用的工具和原则。
  二、极端原理在高中函数最值中的应用
  函数是高考的重点考察内容,许多实际应用题都涉及“最大最小值”“费用最多最少”等问题,这些都可通过极端原理的思想方法解决。
  例1:南宁市某地产商计划用810万元入购一块空地,在该地上建造一栋至少8层、每层1000平方米的楼房。若是将房子建为x(x≥10)层,则可得到平均建筑费用为每平方米364+81x(单位:元)。使楼房平均综合费用最少,那么该楼需要建多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用÷建筑總面积)
  因此,将该楼房建为10层,平均综合费用最少。
  小结:极端原理的思想即为找到问题中的最特殊情况,于本题就是找到费用最少又符合要求的价格,所以本小题主要考查建立函数关系式,即函数模型,求函数最小值的方法。题目看起来背景复杂,读到最后会发现平均综合费的函数关系式在注释里已经给出,只需将数值代入即可。
  小结:导数是近几年高考的热点,其解法值得关注。而同时涉及到极端原理的思想,第一问中求出k值就是运用极端原理寻找特殊存在,此时,特殊存在是不建造隔热层,即x =0,从而求解出k值。对于第二问,极端原理的运用已十分明显,即为求出两种费用之和最小值。
  小结:本题求线段之和涉及了极端原理思想,此时的极端情形即为线段和的最大值问题,对于解法一,因图形已经给出了,根据数形结合思想可以考虑,将求线段最大值转换为求角度的特殊情况,最后再转回线段长度问题得以求解。
  综上所述,极端原理求最值的思想方法对于解决函数实际问题十分有效,并且极端原理还可运用于解决各类数学问题中,比如方程问题、立体几何问题、数列问题等,所以掌握极端原理思想是很有必要的。
  【参考文献】
  [1]马伟.极端原理在解题中的应用[J].科学教育,2008(09)
  [2]王连笑.极端原理与解题[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社
转载注明来源:https://www.xzbu.com/9/view-15014601.htm