浅析数形结合思想在初中数学中的应用
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作者: 陈士统
摘 要： 作者就自己多年从事初中数学教学工作的所思所感，从两个方面结合具体的实例，谈谈数形结合思想在初中数学教学中的应用方法。
关键词： 初中数学教学 数形结合思想 应用方法
数学是人们劳动、生活、学习必不可少的工具，是人类的一种文化。数学文化有自身独特的语言、思想和方法。乔治・波利亚说过：完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。随着课程改革的不断深入，传统的“应试教育”向适应时代发展的“素质教育”过度，不仅考查学生对基础知识、基本技能的掌握，更重视考查学生的能力，如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括，会阐述自己的思想和观点，从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层面上的数学教育。数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，又是进行数学素质教育的一个切入点。
下面我就数形结合思想在初中数学教学中的应用方法，结合教学经验谈谈自己的认识。
数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。即把数与形融为一体考虑问题，是一种极富数学特点的信息转换。著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”这句话充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。
一、由“数”思“形”，“数”“形”结合，用“形”解决“数”的问题
由于“数”和“形”是一种对应，有些数量关系比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象、直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应――“形”找出来，利用图形来解决问题。许多数量关系方面的抽象概念和公式，若结合图形，往往就会变得非常直观、形象，并使一些关系明朗化、简单化。如教材《有理数及其运算》一章中，数形结合主要是通过数轴来实现的。数轴的引入为学习有理数、相反数、绝对值、有理数大小的比较、有理数的运算法则等提供了直观的工具。具体地说，由数轴容易看出，有理数可以分为三类：正数、0和负数，正数分布在正半轴，负数分布在负半轴，0是正数和负数的分界。对于相反数，在数轴上互为相反数的两个数所表示的点，在原点的两侧，到原点的距离相等。对于绝对值，根据“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离”的直观意义，求一个数的绝对值的问题就容易理解。关于有理数大小的比较，当数字较多时，容易遗漏或排错位置，可以先把这些数在数轴上用点一一表示出来，根据“数轴上表示的数，右边的总比左边的大”，然后写出结果。实际上，对学生来说，也只有通过数形结合，才能较好地完成本章的学习任务。另外，《一元一次方程》中，列方程解应用题时画示意图，常常会给解决问题带来思路。《生活中的数据》中的“统计图的选择”，利用图形来展示数据，很直观明了。用几何图形或函数图像解决有关方程或函数的问题，更是初中数学的一个亮点。
二、以“数”助“形”，“数”“形”结合，用“数”解决“形”的问题
对于一些图形的性质，可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，以数助形，使问题得到解决。如教材《平行线与相交线》一章中，两条直线平行的条件是：如果特殊位置关系的角（同位角、内错角、同旁内角）满足特殊的数量关系（同位角相等或内错角相等或同旁内角互补），那么就可以得出两条直线平行，即形―数―形的过程；反过来，如果两条直线平行，那么任意一条直线截它们得到的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，即形―形―数的过程。这种数形转换的方法是研究图形的基本方法。又如《平面图形及其位置关系》中，用数量表示线段的长度，用数量表示角的度数，利用数量的比较来进行线段的比较、角的比较等。对于以图像形式呈现信息的应用性问题，虽然说形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确地把图形数字化，而且要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。如在同一坐标系中给出一次函数y=5x+3与二次函数y=x2+x－3的图像，试写出它们的交点坐标。学生可以利用由点的位置确定点的坐标的方法，再通过画图观察得出交点坐标。由于受作图工具等客观条件和人的主观因素的限制，学生只能得出交点坐标的近似值，而此处要求写出的是准确值。正确做法是把“形”转化成“数”，即两个函数图像在同一坐标系中的交点坐标，是把这两个函数的解析式联立所得方程组的解，有几组解就有几个交点，x的值是交点的横坐标，对应的y值是交点的纵坐标。至此，只要把两个函数的解析式联立解方程组，问题便可迎刃而解。
总之，数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥“数”与“形”两种信息的转换及其优势互补与整合。数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了。在学生学习过程中，还可以激发学生学习数学的兴趣。要想提高学生应用数形结合思想的能力，教师需要耐心细致地引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。
参考文献：
［１］全日制义务教育课程标准(实验稿).人民教育出版社.
［２］数学方法论与解题研究.高等教育出版社.
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