基于学生认知，立足数学本质

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　　摘要：教学苏教版小学数学五年级下册《圆的认识》一课，基于学生认知，组织课前自学;立足数学本质，开展课堂教学。先前，学生是从生活的角度感性地认识圆的特征，这节课，应该引导学生从数学的角度更加理性地认识圆的本质，从而真正地体会到圆的美。具体地，在三次“画图”中体验数学中的圆，在三次“追问”中深化圆的认识，在两次“想象”中建构圆的概念。
　　关键词：学生认知数学本质圆的认识课堂教学
　　一、教前思考
　　“圆的认识”是苏教版小学数学五年级下册的内容，是在学生认识了长方形、正方形、三角形等多种平面图形的基础上开展教学的。教材的编排思路是，先借助实物揭示圆的概念，让学生感受圆与现实的密切联系;再引导学生借助实物、圆规等多种工具画圆，初步感受圆的特征，并掌握圆的画法;最后引导学生通过折一折、画一画、比一比等活动，掌握圆的基本特征。
　　（一）基于学生认知，组织课前自学
　　学生对圆并不陌生，一是因为在生活中常见到圆形表面的物体，二是因为在低年级已经接触过圆这个平面图形。此外，现在信息资讯丰富、获取手段多元，有的学生对圆早就有了更多的了解。鉴于此，笔者做了一个课前调研，让学生说说“我眼中的圆”。调研结果正如笔者所预想的，学生对圆有很多了解。比如，学生知道圆是“封闭图形”“曲线图形”“轴对称图形”等，还有不少学生知道“半径”“直径”“圆心”等名称并且会用圆规画圆。基于此，笔者让学生课前自学教材内容，了解圆的各部分名称、画圆的方法等基础知识和基本技能。
　　（二）立足数学本质，开展课堂教学
　　圆的特征主要包括同一个圆的半径和直径各自的特点、半径和直径的关系等。教学中通常是让学生通过测量、折圆形纸片等操作了解这些特征。但是这样是不是就够了呢？笔者认为，这样的教学缺少了思维的深度，没有让学生认识到数学的本质。实际上，圆所有的特征都是由它的本质——在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合——决定的。所以，在教学中完全可以让学生结合用圆规画圆的感受，体会圆为什么会有这些特征，从而感悟圆的本质。
　　如果先前学生是从生活的角度感性地认识圆的特征的话，那么这节课，应该引导学生从数学的角度更加理性地认识圆的本质，从而真正地体会到圆的美。基于此，笔者制定了如下教学目标：（1）通过自学、交流、反思等多种学习方式，知道什么是圆心、半径、直径，能够借助工具画圆，学会利用圆规画指定大小的圆，感受并发现圆的本质属性;（2）在多次操作活动中，慢慢抽象出圆的概念，发展理性思维，增强空间观念;（3）进一步体验图形与生活的联系，体验数学的美与应用，提高数学学习的兴趣，增强学好数学的信心。
　　二、教学过程
　　（一）从“预习反馈”中引出
　　师同学们，今天这节课我们一起来认识圆。当然，我们对圆并不陌生。（出示图1、图2）看，这是同学们眼中的圆。
　　师课前，老师还做了一个调查。（出示图3）关于圆，同学们还有很多好奇的地方。
　　（二）在“交流碰撞”中感受
　　师昨天我们对书本上的相关内容已经进行了预习。通过预习，你能解决上述哪些问题呢？下面请大家在小组里交流一下你的预习收获。
　　（学生小组交流。）
　　师通过看书，你又知道了什么？
　　生我知道了如何画一个圆。我们可以借助圆规来画。
　　（该生板演画圆方法。）
　　生我还认识了半径、直径、圆心。
　　（该生结合黑板上的圆依次介绍。）
　　师半径是一条怎样的线段？
　　生从圆心到圆上任意一点的线段。
　　师（用两个手指比画出一条半径）这任意一点，怎么体现啊？
　　生（指图）这儿、这儿……
　　师指得完吗？
　　生指不完，所以说半径有无数条。
　　师你看，不知不觉中，我们发现了半径的一个重要的特点。（板书：无数条）那直径呢？
　　（指名学生在黑板上的圆中画出一条直径。）
　　师关于这几个名称，还有什么想要说的吗？
　　生半径和直径都有无数条;直径是半径的两倍;所有半径都相等，所有直径也都相等。
　　师解释一下。
　　生圆边上有无数个点，这样可以和圆心连出无数条半径和直径。
　　生直径是半径的两倍，我可以画给大家看。
　　（该生上前在一条直径上画出两条半径。）
　　生我量了一个圆的好几条半径和直径，发现这些半径的长度都相等，直径的长度也都相等。
　　生（立刻举手）可是一个圆有无数条半径和直径，你只量了其中幾条，能说明所有半径的长度都相等，直径的长度也都相等吗？
　　（其他学生纷纷点头，之前回答的学生也一时不知道怎么回答。）
　　师不急，我们继续往下研究，相信到时候这个问题就能迎刃而解了。不过，老师要对同学们刚才提出的这些结论补充一个条件，那就是“在同一个圆里”。不然，这些比较都是没有意义的。（稍停）看来，大家对于书本上介绍的内容已经基本明晰了，下面我们就用这些知识来解决一些问题。
　　（教师出示判断半径、直径的问题，学生回答。）
　　（三）在“问题驱动”中深化
　　1.用圆规就一定能画一个完美的圆吗？
　　师刚才，同学们通过看书和小组讨论，解决了两个问题。不过，这还仅仅是大家自学以后最初的收获和想法。孔子有一句话：“学而不思则罔。”他在告诉我们，除了要善于学习，更重要的是善于思考。下面，就让我们带上自己的思考再来看一看刚才的收获。大家都已经学会了用圆规画圆，那么，用圆规就一定能画一个完美的圆吗？
　　（学生不置可否。）
　　师我们一起来画一画。请同学们任意画出3个大小不等的圆。 　　（学生独立画圆。）
　　师哎，有意思了！老师发现，同样在用圆规画圆，同样画3个圆，同学们有快、有慢，有成功的、有不成功的。（展示一些作品）这是怎么回事？
　　生他们在画圆的时候，固定的铁针可能没有扎紧，动了一下。
　　生也可能是圆规装有铅笔的那一头动了一下。
　　生还可能是在画的时候，圆规的两条腿一直在动。我来演示一下。
　　（该生上前演示。）
　　师这么说来，要成功地画出一个圆，有哪些关键的地方？
　　生固定一个点;保持两脚之间的距离不变。
　　师是的，圆规一脚的针尖必须固定在一个点上，这是定点，其实就是圆的圆心;圆规两脚之间的距离必须保持不变，这是定长，其实就是圆的半径。（板书：定点、定长）然后旋转一圈就能形成一个圆。（电脑展示画圆过程）当然，在旋转的时候，圆规如果倾斜一点，会更好画。（稍停）刚才的要求是画大小不等的圆，你是怎么做到的？
　　生使得圆规两脚之间的距离不同。
　　师看来，圆的大小是由什么来决定的。
　　生定长、半径。
　　师（出示一个同心圆）这3个圆有什么奇妙之处？
　　生位置相同。
　　生圆心相同。
　　师正因为圆心是同一个，画的位置也就在同一个地方，所以说圆心决定了圆的位置。（稍停）就是为了满足这些要求，才有了圆规这样一个画圆工具。让我们继续画圆，再次感受一下圆规的奇妙之处。注意老师的要求。
　　（教师出示要求：1.半径2.5厘米;2.直径2.5厘米。学生画圆。）
　　2.画圆一定要用圆规吗？
　　师刚才，大家通过观察、操作，发现用圆规能方便地画出一个圆。那么，画圆一定要用圆规吗？同桌交流一下。
　　（学生交流方法。教师指名学生在黑板上用一根线、粉笔、大头钉画圆。）
　　师掌声给他们。为什么用这些道具也能画出一个圆？
　　生因为它和圆规一样，做到了“定点”和“定长”。
　　师（播放相应视频）体育老师就是用这样的方法在操场上画出了一个大大的圆。看来只要“定点”“定长”，即使不用圆规，也能画出一个完美的圆。（稍停）刚才，我们利用工具画出了看得见的圆，其实，在我们的生活中还有许多看不见的圆。（出示钟面、机场雷达图，指着钟面图）你能看到圆吗？
　　生秒针绕着钟面转一圈，也能形成一个圆。
　　师这是一个怎样的圆？能描述一下吗？
　　生圆心是钟面的中心，半径是秒针的长度。
　　师还有圆吗？
　　生分针和时针绕着钟面转一圈，都能形成一个圆。
　　师真棒！（将用圆规画的圆、体育老师在操场上画的圆、钟面、机场雷达这四幅图汇聚在一起）同学们看，刚才我们利用工具或者根据想象，都得到了一个圆。请大家想一想：为什么它们最终都能形成一个圆呢？
　　生因为都确定了一个中心点（定点）和定长。
　　师的确，正如同学们说的那样，不管是圆规的铅笔头（在图中标出相应点）、体育老师拿着的那个大勺子（在图中标出相应点），还是钟面上秒针的针尖（在图中标出相应点），这些点在旋转的过程中，与中间这个定点（在图中标出中心点）之间的距离总是保持不变，所以最终都形成了圆。现在，让我们拿掉圆规，拿掉绳子和体育老师手中的大勺子，拿掉秒针，就留下这两个点。请大家闭上眼睛想象一下，让其中一个点转起来，转一下，留下一个点，继续转，两下、三下……就会留下无数个点，然后把这些点连起来，就成了一个——
　　生（齐）圆。
　　师是的，这就是圆。所以，数学家说——
　　（教师出示：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。学生齐读。）
　　3.在同一个圆内，为什么所有半径都相等，所有直径也都相等？
　　师我们再去看看一开始的收获。现在，对于在同一个圆内半径、直径的特征，特别是半径的长度都相等，你能解释清楚了吗？
　　生因为半径的长度其实就是这个“定长”，所以在同一个圆内，所有的半径都相等。因为直径里包含了两个半径，所以在同一个圆内，所有的直径也都相等。
　　师你看，同一个特点，对它的理解，和刚才相比，你感觉怎么样？
　　生更清楚了。
　　（四）在“拓展延伸”中提升
　　师课的开始，我们都描述了自己心中圆的形象。现在，你是不是对圆又有了新的感受呢？让我们再来说说圆。
　　生圆代表了完美、圆满！
　　生我以前听到过说“圆是最美的平面图形”，今天感受到了。
　　师那你们觉得圆和其他平面图形比起来，到底美在哪里？
　　生我觉得是圆看上去很光滑。
　　生只有圓的中心点到边上的点的距离都相等，其他平面图形都做不到。这可能就是圆的完美之处。
　　……
　　师同学们说了这么多，我想这句话最能体现大家此时此刻对圆的认识：“圆，一中同长。”这是我国古代思想家墨子对圆的概括。一中即圆心，同长即半径都一样长。这短短四个字就是圆的精髓所在。现在，如果让你在黑板上找出最想留下的几个字，你会找出哪几个字？
　　生定点、定长。
　　师是的，定点、定长，决定了圆所有的特点，也决定了圆的美，圆的与众不同。同学们，回顾今天的课堂，我们经历了从向书本学习、向同学学习到自己再思考、再收获的过程，对圆的认识一步步从模糊走向清晰。就让我们带着这样一种学习、思考的方式继续去研究圆其他方面的知识吧！
　　三、教学立意的进一步阐释
　　（一）在三次“画图”中体验数学中的圆
　　著名教育家陶行知先生做过这样一个比喻：我们要以自己的经验做“根”，以这经验所发生的知识做“枝”，然后别人的知识才能接得上去，成为我们知识的一个有机部分。因此，要让学生在经历中体验，在体验中累积，这样才能让知识的“根”扎得更深。 　　生活中许多物体都有圆形的面，可以说学生对圆有着丰富的感性认识。引导学生从圆的生活表象进入圆的数学本质，是这节课教学的重点。圆的数学本质是“定点”“定长”。怎样才能让学生真正体会到呢？应该让学生亲身体验数学上的圆的形成过程，在画图实践中认知、明理和发展。
　　这节课中，笔者引导学生结合三次画圆体验，感悟圆的本质。第一次，在自学的基础上用圆规画圆，通过比较成功与不成功的体验，体会到“定点”“定长”是决定画圆成功的关键;第二次，画出不同半径、直径的圆，感受到“定点”“定长”决定一个圆的位置和大小;第三次，用一根线、粉笔、大头钉画圆，体会到只要做到“定点”“定长”，即使没有圆规，也能画出一个圆。
　　（二）在三次“追问”中深化圆的认识
　　问题是打开思维的有效通道。何时提问、提问什么，是数学教学最需要研究的。
　　“圆的认识”的知识点很琐碎，所以教学中经常会出现“教师一直在提问，学生一直在回答”的现象，这样表面上学生不断地在思考，实际上学生的理解很浅薄。本节课中，笔者让学生自学并交流浅表的非本质知识，然后围绕有深度的本质知识“定点”和“定长”，设计了三个核心问题，对学生进行追问，引发学生的认知冲突，促进学生的认知深化。
　　问题1：用圆规就一定能画一个完美的圆吗？学生通过自学，知道了用圆规可以画一个圆，虽然不是每次都能成功，但是通过不断地尝试，成功的概率会越来越高。教学如果满足于学生会画圆，显然是不够的。通过问题1，迫使学生反思画圆的过程，从而发现成功画圆的关键是圆规装有铁针的那只脚固定不动、圆规两脚之间的距离保持不变，由此领会圆的本质“定点”“定长”。
　　问题2：画圆一定要用圆规吗？学生会用圆规画圆后，容易认为圆规是画圆的唯一工具。通过问题2，迫使学生反思画圆的方法，从而发觉圆的本质“定点”“定长”，由此发散到其他工具，创造其他画圆方法。
　　问题3：在同一个圆内，为什么所有半径都相等，所有直径也都相等？学生通过阅读教材以及量一量、折一折等操作，知道了圆的一些特征，但这样的发现还是浅层次的。而通过前面几次画圆和反思，学生对圆的本质“定点”“定长”已经有了深入的体会。此时，让学生思考问题3，学生不难发现圆的这些特征是由它的本质决定的，从而实现深层次的认识。
　　（三）在两次“想象”中建构圆的概念
　　心理学认为，想象是人在头脑里对已储存的表象进行加工改造形成新形象的心理过程。想象是一种特殊的思维形式，数学中很多概念的建构都要基于想象，超越实物层面，进入心理层面，比如平行线的认识、圆柱的形成等等。
　　圆在数学中的定义（在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合）是超越现实的（在现实中并不存在）。本节课中，为了让学生认识到这一点，笔者设计了两次想象活动。
　　第一次，在学生认识到只要做到“定點”“定长”，就能成功地画出圆后，让他们结合钟面上的指针运动，想象所形成的圆。基于圆的本质的想象虽然是看不到的，但是又“真实”地反映在学生的脑海中的。它既是对圆的特征的一次应用，也反过来促进了对圆的认识，更使学生的思维得到了进一步提升。
　　第二次，在学生用想象“画”出了看不见的圆，对“定点”“定长”有了深刻的认识后，让他们基于呈现的两个点，想象“让其中一个点转起来，转一下，留下一个点，继续转，两下、三下……就会留下无数个点，然后把这些点连起来，就成了一个圆”。学生最终建构了数学上完美（纯粹）的圆。这时，让他们再畅谈“我眼中的圆”，理解“圆是最美的平面图形”就是深刻而自然的了。
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