关于工科院校线性代数教学的几点体会

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　　[摘 要]针对线性代数课程学生难学、教师难教的现实情况， 试图从教材的“现代化”建设、几何与线性代数课程的融合以及MATLAB在线性代数教学中的应用三个方面， 讨论工科院校中线性代数课程的教学改革问题， 同时提出了一些具体的改进建议.
　　[关键词]线性代数; 教材的现代化; MATLAB; 几何语言
　　[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2020）01-0074-03
　　线性代数的主要特点在于应用的广泛性和理论的抽象性. 正是因为这样， 我们在教学中常常会感到苦恼， 一方面为了数学理论本身的发展， 抽象是需要的; 另一方面， 为了解决工程实际问题的需要， 突出矩阵应用是必不可少的. 倘若两个方面都能兼顾， 那是最好不过了， 可实际情况是受到诸多因素的影响， 比如授课学时的限制、教师教学能力的参差不齐、教材内容的导向等等， 我们很难达到二者兼顾的理想状态. 那我们究竟该怎么做呢？ 结合我们多年的线性代数授课以及教学改革的经验， 我们从以下几点来谈一些关于工科院校线性代数教学的体会.
　　一、教材的现代化需求日益突出
　　目前， 国内多数工科院校与西方国家尤其是美国的同类院校相比， 所使用的线性代数教材的主要差异在于对同样内容的表述和处理方式、 突出的重点不同.国内线性代数教材可以说“逻辑严密、表述严谨、 风格严肃”， 内容编排多为“概念-定理-例题-习题”这样的模式[1]. 而美国教材的特点是取材广泛、注重应用、风格活泼， 便于培养学生的主动性和创造性[2-3].
　　线性代数这门课程在美国是20个世纪60年代纳入数学系本科的， 最初的教学大纲是以向量空间为主体而为数学专业设计的. 伴随修这门课程的工科学生人数的增长， 原有的大纲逐渐地出现了一些问题， 于是1990年美国成立了线性代数课程研究组LACSG（Linear Algebra Curiculum Study Group）开始专门讨论线性代数的教学改革问题， 以促进作为公共课的线性代数转向矩阵的应用， 进而满足非数学专业的需求[4]. 我国自20世纪80年代将线性代数引入本科以来， 30多年过去了， 基本上一直执行的是1995年制订的全国性的大纲. 近年来， 教学大纲和教材虽有调整和改进， 尤其是教材编写方面， 已经出现了一些新的好的教材， 但总体上还不能适应应用型人才培养的需求， 因此我们有必要重新修订大纲， 以加快线性代数教材“现代化”过程的步伐！
　　李大潜院士指出： “数学的教学不能和其他学科和外部世界隔离， 只是一个劲地在数学内部的概念、方法和理论中打圈子， 这不利于了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉， 不利于启发学生自觉应用数学工具来解决各种各样的现实问题， 不利于提高学生的数学素养”.
　　基于上述观点， 我们在编写新教材时， 应力争做到数学概念要通过精选的应用实例来引入， 教材内容的编写要体现线性代数知识应用的过程.例题与习题的设置环节上， 不仅要有常规的概念复习题、计算和证明题， 还需配置综合性较强的探索性题目以及借助数学软件来解决的实验性习题. 目前， 西方国家的教材在上述几个方面有明确的体现， 我们应以学习交流、 融合互补的目的， 吸取借鉴国外的优秀教材， 为我们教材的“现代化”提供参考和新思路.
　　二、要注重运用几何语言阐释线性代数的概念或命题
　　抽象性是线性代数课程的主要特点之一. 因此， 一方面， 大多数学生修完该课程后的普遍反应是：内容抽象枯燥、定义繁多， 难以与其他數学知识进行联系等;另一方面， 担任线性代数教学的教师常感到相比较微积分而言， 线性代数的教学更困难一些. 主要原因是， 微积分经过几百年的锤炼以及与其他各个学科的融合， 已经建立了大量的直观性例题， 而现行的线性代数教材的编写缺乏与其他学科的联系， 直观的应用显得不足[5-7].
　　实践表明， 借助几何语言来阐释线性代数中的概念和性质， 是化解线性代数抽象、难学难教的一个行之有效的方法. 令人可喜的是， 目前已有一些院校的数学专业把高等代数和解析几何两门课程合成了一门新的课程， 相应的教材也不断地出现[8-9]. 但在许多工科课程设置中， 解析几何只是作为微积分中的一个章节， 目的是为多元函数微积分的教学服务， 客观上造成了线性代数与几何内容上的割裂. 因此， 担任线性代数教学的教师在课堂教学中要为学生架起代数与几何联系的桥梁， 注重运用几何语言解释线性代数的概念或命题[10]. 比如我们可以从两平面间的位置关系的角度来加强理解矩阵秩的概念：设有平面
　　[π1：a1x+b1y+c1z=d1]与[π2：a2x+b2y+c2z=d2]，
　　且设线性方程组
　　[a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2]                                            （1）
　　的系数矩阵和增广矩阵分别为[A]与[A]. 则当[RA=RA=2]时， 平面[π1]和[π2]相交于一条直线;当[RA=RA=1]时， 平面[π1]和[π2]重合;当[RA=1，RA=2]时平面[π1]和[π2]平行.
　　事实上， 由于[a1，b1，c1]不全为零， 所以[RA≠0]， 于是， [A]与[A]的秩仅有三种可能的情形：
　　情形1 若[RA=RA=2]， 则方程组（1）是有解的. 假设[γ0=x0，y0，z0]是它的一个特解. 由于方程组（1）所对应的齐次方程组 　　[a1x+b1y+c1z=0a2x+b2y+c2z=0]                                               （2）
　　的系数矩阵[A]的秩也为2， 显然方程组（2）有非零解， 并且基础解系中解的个数为[3-2=1]. 不妨设[η=η1，η2，η3]为方程组（2）的一个基础解系， 那么
　　[γ0+kη=x0+kη1，y0+kη2，z0+kη3] （k∈R）
　　便是方程组（1）的通解. 从解析几何的角度来看， 当[k]取遍全体实数时， 点[γ0+kη=x0+kη1，y0+kη2，z0+kη3]的轨迹是过定点[γ0=x0，y0，z0]且方向向量为[η]的一条直线， 从而当[RA=RA=2]时， 平面[π1]和[π2]相交于一条直线.
　　情形2 若[RA=RA=1，] 则[a1，b1，c1，d1]与[a2，b2，c2，d2]分量对应比例. 因此方程组（1）的通解为[a1x+b1y+c1z=d1]， 这就是平面[π1]的方程， 从而平面[π1]和[π2]是重合的.
　　情形3 若[RA=1，RA=2，] 则方程组（1）无解. 从而平面[π1]和[π2]没有公共点， 因此[π1]和[π2]平行.
　　再比如， 课堂教学中通过介绍矩阵特征值在研究二次曲线时的应用， 不仅能使学生体会到矩阵理论应用的广泛性、不同数学学科之间的相互交叉和联系、二次型理论的起源等， 同时还能培养学生的综合应用能力. 设有形如
　　[b11x2+b22y2+2b12xy+a1=0]                              （3）
　　的二次曲线， 且设[λ1]， [λ2]是对称矩阵
　　[P=b11b12b12b22]
　　的特征值， 则二次曲线（3）的形状可由矩阵[P]的特征值[λ1]、[λ2]和二次曲线常数项[a1]唯一地确定.
　　事实上， 若引入向量
　　[X=xy]， [Y=x1y1]，
　　则（3）可写为[XTPX+a1=0]. 由于[P=b11b12b12b22]是实对称的， 所以存在正交矩阵[C]满足[CTPC=λ100λ2]， 即由正交变换[X=CY]可得[YTCTPCY+a1=0]， 从而
　　[YTλ100λ2Y+a1=0]
　　即 [λ1x12+λ2y22+a1=0]                                     （4）
　　由于[X=CY]是正交变换， 而正交变换不改变向量的内积与长度， 因此（3）式与（4）式表示的形状相同， 由此可知二次曲线[b11x2+b22y2+2b12xy+a1=0]的形状能由[λ1]， [λ2]和[a1]的取值唯一确定. 利用这个方法容易判断方程
　　 [x2+y2-xy-1=0]
　　和
　　[x2+y2+4xy+2=0]
　　分别表示椭圆和双曲线.
　　三、要在线性代数教学中渗透科学计算能力的培养
　　钱学森先生早在1989年就曾富有前瞻性地指出：“现在已经可以看到电子计算机对工程技术工作的影响;今后对一个问题求解可以全部让电子计算机去干， 不需要人去一点一点算. 而直到今天， 工科理科大学一二年级的数学课是构筑在人自己去算这一要求上的. …所以理工科的数学课必须改革， 数学课不是为了学生学会自己去求解， 而是为了学生学会让电子计算机去求解， 学会理解电子计算机给出的答案， 知其所以然， 这就是工科教学改革的部分内容.”近年来， 人们在探索培养理工科学生科学计算能力方面取得了一些成果， 比如陈怀琛教授等人编著的教材[11-12]， 把经典理论与现代计算技术手段相结合， 使一些大规模的复杂计算问题得以解决， 体现了MATLAB数学计算软件在求解涉及矩阵计算问题方面的巨大优越性.
　　然而， 就我们所知， 国内大多数工科院校并没有积极地吸纳上述成果， 在线性代数课程的教学中， 科学计算与实际应用能力的培养方面与国外发达国家的差距与日俱增. 因此， 目前我们应该明确一个方向， 那就是“为了解决工程实际问题， 工科线性代数教学就应当向矩阵应用方向发展.” 教师组织教学内容时应以“需求牵引”和“问题驱动”为导向， 以尽量避免“抽象”为目标， 让学生知道线性代数课程在其后续专业中的用途， 也让学生体会到MATLAB在行列式的计算、线性方程组的求解以及化二次型为标准形等具体的线性代数计算问题中的应用， 尤其是能够展现计算软件在解决高阶问题时的便捷性， 使学生初步掌握利用线性代数知识解决实际问题的能力.
　　但在线性代数教学中常面临的困难是课时少、内容多、多数学生没有MATLAB的基础， 那么我们又该怎么做呢？实践表明， 充分利用好多媒体、翻转课堂等方法就能较好地化解这一问题. 具体来说， 在线性代数传统的板书教学中， 恰当穿插使用多媒体手段， 往往能有效提高授课效率， 增加课堂信息量， 更加直观、生动地呈现教学内容;可将线性代数中的重点和难点进行分解， 录制成一些视频节段提供给学生， 使学生课前预习和课后复习所用， 这样课堂上就可用较少的时间介绍教材中的基本内容， 節省出来的时间用以展现线性代数的一些典型应用案例和MATLAB实践案例， 弥补现行教材的不足， 促进教学模式的转变与教学质量的提高. 　　最后我们以在诸多科研和工程实际问题中均会遇到的多项式求根问题为例，  进一步说明用MATLAB求解一些计算问题时的便捷性和有效性. MATLAB提供的函数[roots（）]可以求出多项式的所有根， 调用格式为：[x=rootsp]： 这里[p]表示多项式的系数向量， [x]返回多项式[p]的全部根. 若已知多项式的所有根， 调用函数[poly（）]可求已知根的多项式， 调用格式为：[p=polyx]： 这里[x]为包含多项式的所有根的一个向量， 经过计算返回以[x]为根的多项式系数.比如求多项式[x3-9x2+26x-24]的根， 同时再验证有这些根的多项式. 我们仅需以下两行语言：
　　[p=1-926-24];
　　 [x=rootsp]
　　便可得   [x=]
　　 [4.00003.00002.0000]
　　再要计算具有该根的多项式， 我们只需输入下面一个命令
　　>> [p=polyx]
　　即可得解    [p=]
　　[1.0000-9.000026.0000-24.0000]
　　以上仅以多项式的根为例， 说明了MATLAB在线性代数计算问题中的优越性， 事实上， 这样的例子在线性代数中举不胜举， 这里不再赘述.
　　[ 参 考 文 献 ]
　　[1] 王正盛.中外线性代数教材的比较与探讨[J]. 大学数学， 2009， 25（1）： 200-203.
　　[2] D.C. Lay， S.R. Lay， J.J. McDonald. Linear Algebra and its applications （Fifth  Edition） [M]. 刘深泉等，译. 北京： 机械工业出版社， 2018.
　　[3] S.J. Leon. Linear Algebra with applications （Ninth Edition） [M]. 张文博等，译.北京： 机械工业出版社， 2015.
　　[4] 郭文艳，赵凤群.数学建模及Matlab软件在矩阵运算教学中的应用[J].大学数学，2013，29（4）：87-90.
　　[5] 同济大学数学系.工程数学线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
　　[6] 郝志峰，谢国瑞，方文波，等.线性代数（修订版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
　　[7] 杨文霞，何朗，万源.面向能力培养和计算思维训练的线性代数混合式教学改革与实践[J].大学数学，2018（34）：45-51.
　　[8] 黄廷祝，成孝予.线性代数与空间解析几何（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2018.
　　[9] 郑宝东，王忠英.线性代数与空间解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.
　　[10] 韩冰，李洁，杨威，高淑萍.线性代数教学改革中的几点探讨[J].高等数学研究，2013，16（4）：72-74.
　　[11] 陈怀琛，高淑萍，杨威.工程线性代数（MATLAB版）[M].北京：电子工业出版社，2007.
　　[12] 陈怀琛，龚杰民.线性代数实践及MATLAB入门（第二版）[M].北京：電子工业出版社，2009.
　　[责任编辑：林志恒]
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