“极坐标系”教学设计探研
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摘 要：教师应通过对建立极坐标系的合理性、便捷性的探究，引导学生自主完成极坐标系的建立，并学会表示点的极坐标，为后面学习直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程以及参数方程奠定基础。文章基于教学实践，对极坐标系的教学设计进行探讨，以帮助学生形成数学思想，培养数学素养。
关键词：数学教学;极坐标系;数学思想;数学素养
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2020）24-0118-02
极坐标系的学习过程体现了数学建模、数形结合、类比转化、由特殊到一般的数学思想。建模的能力和数形结合、归纳推理等能力有较高要求，这也是本节课的学习难点。本文基于教学实践，对“极坐标系”的教学设计进行探讨。
一、教学目标
知识目标：从生活实例出发，感知极坐标的思想在生活中的体现，学会自主建立極坐标系以及掌握求点的极坐标;理解点的极坐标的不唯一性。技能目标：通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法，通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。情感态度和价值观：类比学习过的直角坐标系，让学生体会极坐标系思想的合理性及便捷性，感受到数学来源于生活而又高于生活，学会自主探究和合作交流的学习形式，培养学生的数学核心素养。
二、教学重难点
教学重点：运用生活常识，体会极坐标的思想，并用此思想建立极坐标系，表示点的极坐标。教学难点：对点的极坐标的不唯一性（极角的不唯一）的理解。
三、教学过程
1.创设情境，导入新课
教师由笛卡尔与瑞典公主的故事，引出心形线。提问：方程中的变量ρ、θ是什么？如何用几何画板绘制心形线？教师再以实例引入：由卫星图（见图1）思考，从学校大门到学校礼堂怎么走？提问：从学校大门到学校礼堂怎么走？是否可以用直角坐标系方法解决这个实际问题？学生甲：从这向北走90米。学生乙：可以用直角坐标系表示，但太麻烦，不简便。教师肯定了学生的答案，并让学生探讨“从这向北走90米”这句话的关键词是什么，能否根据3个关键词自己建立极坐标系。学生认真思考，一起寻找关键词，并分组讨论，尝试建立极坐标系。由此突破重点，得出极坐标系以及极坐标系下极径和极角的定义。设计意图：通过学生熟悉的直角坐标系和生活实例引起学生兴趣，调动其学习积极性。学生利用原有的常识很容易得出答案，感知极坐标系思想，感受数学来源于生活，为后面归纳得到极坐标系的建立做好铺垫。
2.主动创造，获得新知
学生根据实例给出极坐标系的定义中的三要素：定点、定向、定长。由此给出建立极坐标系的方法：（1）在平面内取一个定点O，叫作极点。（2）引一条射线ox，叫作极轴。（3）选定一个长度单位。（4）规定角度的正方向（通常取逆时针方向）。极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫作M的极坐标。一般地，不作特殊说明，认为ρ≥0，θ可取任意实数。极角一般是用弧度来表示。设计意图：类比直角坐标系的建立过程，可以引导学生试着建立一个用距离与角度确定平面上一点位置的坐标系。比较直角坐标系与极坐标系的不同，可以帮助学生熟悉并记住点的极坐标的表示方法。
3.例题讲解，突破难点
教师给出作战雷达图（图略），为在作战中占据有利地点，让学生完成任务一：在图中标出我军位置，M（4，3π），N（3，-π/3），P（5，π/2）。任务二：从图中找出敌军的位置。任务三：在极坐标系中标出下列各点，A（4，π/4）、B（4，π/4+2π），C（4，π/4+4π）。教师可请学生在图中做出标识，回答图中各点坐标，得出坐标中角θ是可以取任意值的，所以坐标不够完整。然后引导学生讨论：这些极坐标之间有何异同？这些极角有何关系？这些极坐标所表示的点有什么关系？学生回答：极径相同，极角不同。极角的始边相同，终边也相同，即它们是终边相同的角。它们表示同一个点。这里有以下几个难点问题：平面内给定极坐标后，对应点是否唯一？平面上，一个点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？学生讨论并回答以上几个问题的答案：唯一、不唯一、无数种、极角、（ρ，θ+2kπ）k∈Z。设计意图：通过多媒体展示，引导学生自主完成探究，总结知识点，初步熟悉极坐标系的有关概念。
4.回顾引入，问题升华
教师可让学生重新回到实例中，解决实际问题。根据图1，分别用点A、B、C，D、E、F表示学校校门、宿舍楼、操场、学校礼堂、实验楼和教学楼的位置。学生建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标，见图2。教师注意收集学生回答过程中的不规范的地方，点拨学生回答中存在的问题，提升学生的归纳能力。由于题目比较简单，教师可请一名同学板演。然后，教师可提升题目难度，引导学生加强定义理解，加强类比思想的培养。例如，对极坐标平面中任意一点A（ρ，θ），（ρ>0，-π<θ≤π），问点A关于极轴对称的点为（ ），点A关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点为（ ），点A关于极点对称的点为（ ）。学生讨论出现分歧，回忆任意角的相关知识解决问题，师生共同完成任务。设计意图：通过自建极坐标系的过程，让学生熟悉并掌握极坐标系建立的四要素：极点、极轴、选定单位长度、规定角度的正方向。第二题则提升难度，引导学生加强定义理解，加强类比思想的培养，强化重难点的学习。
5.呼应引入，学习数学史
法国数学家笛卡尔躺在病床上看到墙角的蜘蛛网发明了笛卡尔坐标系（直角坐标系）。通过它，可以用一个有序数对来确定点的位置，进一步用代数方法研究几何图形的性质。教师带领学生一起用几何画板完成心形线的绘制，然后让学生自主完成类比直角坐标系和极坐标系。设计意图：帮助学生了解数学史，提升学生数学素养;通过与已经学习的知识进行类比，提升能力，完成情感目标;引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对本节课的知识有较为整体、全面的认识，使学生养成善于总结的学习习惯。 6.課后小结，总结知识
教师可引导学生自己总结：本节课大家都学到了什么？为什么要学习极坐标系？极坐标系都有哪些相关定义？学习中突破了哪些重难点？极坐标系的学习对实际生活有哪些影响？学习过程中都有哪些数学思想的辅助？设计意图：凸显数学来源于生活而又高于生活的美感，培养学生科学严谨的学习态度。
四、课后反思
本课由介绍和心形线有关的数学史开始，借助笛卡尔与瑞典公主的故事引出心形线，调动学生的学习积极性。教师再借助多媒体用卫星地图展示该校建筑位置，使学生直观感知“极坐标”的思想，并引导学生总结归纳定义。明确相关概念后，教师给出军事相关的例题，让学生置身军事作战实景中，在游戏中完成知识点的夯实。然后引入校园卫星图，引导学生建立极坐标系，完成各地标的坐标定位，突破课程难点。教师再带领学生完成心形线的绘制，并介绍极坐标系相关的数学史，类比直角坐标系的概念，加强学生对新知识的理解和记忆，取得了很好的教学效果。
参考文献：
[1]胡祝齐.基于数学核心素养发展的教学实践与思考——以极坐标系的概念为例[J].中学数学，2020（01）.
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[3]李培.“极坐标系”教学设计[J].数学教学研究，2017（06）.
[4]刘飚.追求数学课堂真善美的境界——“极坐标系”教学片段及反思[J].江苏教育，2016（43）.
Exploration of Teaching Design of Polar Coordinate System
Bai Qiong
（No.59 Middle School of Lanzhou City， Gansu Province， Lanzhou 730000， China）
Abstract： Teachers should explore the rationality and convenience of establishing polar coordinate system， guide students to complete the establishment of polar coordinate system independently， and learn to express the polar coordinates of points， so as to lay a foundation for later study of the interaction between rectangular coordinates and polar coordinates， polar coordinate equation of simple curve and parametric equation. Based on teaching practice， this paper discusses the teaching design of polar coordinate system， in order to help students form mathematical ideas and cultivate mathematical literacy.
Key words： mathematics teaching; polar coordinate system; mathematical thought; mathematical accomplishment
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